Question

已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A的坐标（4，0），C的坐标（0，-2），直线y=-x与边BC相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）抛物线y=ax²+bx+c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；
（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于BC∥x轴，那么B、C两点的纵坐标相同，已知了点C的坐标，将其纵坐标代入直线OD的解析式中，即可求得点D的坐标；
（2）已知抛物线图象上的A、O、D三点坐标，可利用待定系数法求得该抛物线的解析式；
（3）此题应分作三种情况考虑：
①所求的梯形以OA为底，那么OA∥DM，由于抛物线是轴对称图形，那么D点关于抛物线对称轴的对称点一定满足M点的要求，由此可得M点的坐标；
②所求的梯形以OD为底，那么OD∥AM，所以直线AM、直线OD的斜率相同，已知点AD的坐标，即可确定直线AM的解析式，联立抛物线的解析式，即可确定点M的坐标；
③所求的梯形以AD为底，那么AD∥OM，参照②的解题思路，可先求出直线AD的解析式，进而确定直线OM的解析式，联立抛物线的解析式，即可求得点M的坐标．
解答：解：（1）∵D在BC上，BC∥x轴，C（0，-2），
∴设D（x，-2）（1分）
∵D在直线y=-x上，
∴-2=-x，x=3，（3分）
∴D（3，-2）；（4分）

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A、D、O；
∴，
解得：；（7分）
故所求的二次函数解析式为y=-x；（8分）

（3）假设存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形；
①若以OA为底，BC∥x轴，抛物线是轴对称图形，
∴点M的坐标为（1，-2）；（9分）
②若以OD为底，过点A作OD的平行线交抛物线为点M，
∵直线OD为y=-x，
∴直线AM为y=-x+；
∴-x+=-x
解得：x₁=-1，x₂=4，（舍去）
∴点M的坐标为（-1，）；（11分）
③若以AD为底，过点O作AD的平行线交抛物线为点M，
∵直线AD为y=2x-8，
∴直线OM为y=2x，
∴2x=-x，
解得：x₁=7，x₂=0（舍去）；
∴点M的坐标为（7，14）．（12分）
∴综上所述，当点M的坐标为（1，-2）、（-1，）、（7，14）时，以O、D、A、M为顶点的四边形是梯形．
点评：此题考查了矩形的性质、二次函数解析式的确定、梯形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．