Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=

1

2

x²+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A、B的坐标分别是（-1，0）、（4，0）．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若P是抛物线上一点，且∠PAB=∠OBC，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将已知两点的坐标代入抛物线的解析式利用待定系数法确定二次函数的解析式后求得抛物线与y轴的交点坐标即可；
（2）过点A作AP₁∥BC交抛物线于P₁点，分别求得直线BC和直线AP₁的解析式，联立之后即可求得交点的坐标．

解答：解：（1）将A（-1，0）、B（4，0）代入y=

1

2

x2+bx+c
得 

0= 1 2 -b+c 0=8+4b+c

，解得

b=- 3 2 c=-2

∴抛物线的表达式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
将x=0代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2得y=-2，
∴C点坐标为（0，-2）；

（2）过点A作AP₁∥BC交抛物线于P₁点，
则∠P₁AB=∠OBC，
∴点P₁即为所求．
由B（4，0）、C（0，-2）求得直线BC的表达式为y=

1

2

x-2
∵AP₁∥BC，
∴可设直线AP₁的表达式为y=

1

2

x+m
将点A（-1，0）代入求得直线AP₁的表达式为y=

1

2

x+

1

2

联立方程组

y= 1 2 x2- 3 2 x-2 y= 1 2 x+ 1 2

，解得

x   1 =-1 y1=0

，

x   2 =5 y2=3

∴点P₁坐标为（5，3），
∵由抛物线的对称性求得点C的对称点P₂（3，-2），由于点A、B也关于抛物线对称轴对称，
则∠P₂AB=∠OBC，
∴点P₂（3，-2）也为所求．
综上所述，P点坐标为（5，3）或（3，-2）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法确定二次函数的解析式等知识．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．