Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）求∠BPF的度数．

Answer 1

分析：（1）由题意可得AB=CD，AE=DF，∠BAE=∠ADF=120°，然后根据SAS判定△BAE≌△ADF；
（2）由△BAE≌△ADF得出∠ABE=∠DAF，进而得到∠BPF=∠BAE，再根据AD与BC平行，得出∠BPF的度数．

解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，
∴AB=CD，
∵AD=DC，
∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△BAE和△ADF中，

AB=AD ∠BAE=∠ADF AE=DF

，
∴△ABE≌△DAF（SAS）．

（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，
∴∠ABE=∠DAF．
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．
而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，
∴∠BPF=120°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰梯形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．