Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，点P是x轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图甲所示，连接AC、CP、PB、BA，是否存在点P，使四边形ABPC为等腰梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点H是题中抛物线对称轴l上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB周长的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法，将点A，B，C的坐标代入解析式即可求得；
（2）根据等腰梯形的判定方法分别从PC∥AB与BP∥AC去分析，注意不要漏解；
（3）首先确定点P与点H的位置，再求解各线段的长即可．

解答：解：∵抛物线y=ax²+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，
∴

9a+3b+c=3.5 16a+4b+c=2 c=2

解得：

a=- 1 2 b=2 c=2

，
∴此抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+2x+2；

（2）∵A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2），
∴AC=

3 5

2

，AB=

13

2

，
①若PC∥AB，则过点B作BE∥x轴，过点A作AE∥y轴，交点为E，
∴AE=1.5，BE=1，
当

OC

AE

=

OP

BE

时，AB∥PC，
∴

2

1.5

=

OP

1

，
∴OP=

4

3

，
∴点P的坐标为：（

4

3

，0），
∴BP=

10

3

，
∴AP≠BC，
∴此点不符合要求，舍去；
②若BP∥AC，则过点A作AE∥y轴，过点C作CE∥x轴，相交于点E，过点B作BF∥y轴，
当

AE

BF

=

CE

PF

时，BP∥AC，
∴

1.5

3

=

2

PF

，
解得：PF=4，
∴点P与点O重合，
∴PC=2≠AB．
∴此点不符合要求，舍去；

（3）过A作对称轴的对称点A′，过B作x轴对称点B′，连接A′B′，分别交对称轴与x轴于H点、P点，则这两点即为所求．
∴AH=A′H，PB=PB′，
∴AB+AH+PH+PB=AB+A′H+HP+PB′=AB+A′B′，
∵抛物线的y=-

1

2

x²+2x+2的对称轴为：x=2，
∵A（3，3.5），B（4，2），
∴A′（1，3.5），B′（4，-2），
∴AB=

13

2

，A′B′=

157

2

，
∴四边形AHPB周长的最小值为：

13

2

+

157

2

．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰梯形的判定与性质以及周长和最小问题．此题比较复杂，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．