Question

阅读下面的材料：
如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D．
求证：AP•AC+BP•BD=AB²．
证明：连接AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90°，
∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．
由割线定理得：AP•AC=AM•AB，BP•BD=BM•BA，
所以，AP•AC+BP•BD=AM•AB+BM•AB=AB•（AM+BM）=AB²．
当点P在半圆周上时，也有AP•AC+BP•BD=AP²+BP²=AB²成立，那么：
（1）如图（2）当点P在半圆周外时，结论AP•AC+BP•BD=AB²是否成立？为什么？
（2）如图（3）当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来．

Answer 1

解：（1）成立．
证明：如图（2），∵∠PCM=∠PDM=90°，
∴点C、D在以PM为直径的圆上，
∴AC•AP=AM•AD，BD•BP=BM•BC，
∴AC•AP+BD•BP=AM•MD+BM•BC；
∵AM•MD+BM•BC=AB²，
∴AP•AC+BP•BD=AB²．

（2）如图（3），过P作PM⊥AB，交AB的延长线于M，连接AD、BC，则C、M在以PB为直径的圆上；
∴AP•AC=AB•AM①，
∵D、M在以PA为直径的圆上，
∴BP•BD=AB•BM②，
由图象可知：AB=AM-BM③
由①②③可得：AP•AC-BP•BD=AB•（AM-BM）=AB²．
分析：（1）连接BC，AD，根据圆周角定理及四边形的对角互补得到，点C、D在以PM为直径的圆上，由割线定理得到AC•AP=AM•AD，BD•BP=BM•BC，对其进行整理即可得到结论．
（2）过P作PM⊥AB，交AB的延长线于M，连接AD、BC，由割线定理得AP•AC=AB•AM，BP•BD=AB•BM，由图象可知：AB=AM-BM，对三个式子进行整理即可得到所求的结论．
点评：本题利用了四点共圆的判定，割线定理，直径对的圆周角是直角求解．