Question

如图1，两半径为r的等圆⊙O₁和⊙O₂相交于M，N两点，且⊙O₂过点O₁．过M点作直线AB垂直于MN，分别交⊙O₁和⊙O₂于A，B两点，连接NA，NB．
（1）猜想点O₂与⊙O₁有什么位置关系，并给出证明；
（2）猜想△NAB的形状，并给出证明；
（3）如图2，若过M的点所在的直线AB不垂直于MN，且点A，B在点M的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．

Answer 1

分析：（1）通过证明圆心距等于半径得出点O₂在⊙O₁上；
（2）通过证明AB=BN=AN，从而得到△NAB是等边三角形；
（3）根据在同圆中等弧所对的圆周角相等，可求出∠MAN=60°，∠MBN=60度．从而求证得△NAB是等边三角形．

解答：解：（1）O₂在⊙O₁上，
证明：∵⊙O₂过点O₁，
∴O₁O₂=r，
又∵⊙O₁的半径也是r，
∴点O₂在⊙O₁上；

（2）△NAB是等边三角形，
证明：∵MN⊥AB，
∴∠NMB=∠NMA=90度，
∴BN是⊙O₂的直径，AN是⊙O₁的直径，
即BN=AN=2r，O₂在BN上，O₁在AN上．
连接O₁O₂，则O₁O₂是△ABN的中位线．
∴AB=2O₁O₂=2r，
∴AB=BN=AN，则△NAB是等边三角形．

（3）仍然成立．
证明：由（2）得）△NAB是等边三角形，
∴在⊙O₁中

MN

所对的圆周角为60度，
在⊙O₂中

MN

所对的圆周角为60度，
∴当点A，B在点M的两侧时，
在⊙O₁中

MN

所对的圆周角∠MAN=60°，
在⊙O₂中

MN

所对的圆周角∠MBN=60°，
∴△NAB是等边三角形．
（2），（3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分．

点评：本题考查了由两圆相交的位置关系中的特殊情况．当两圆是等圆时会产生一些特殊的情况，比如相等的线段和相等的角．利用这些等量关系求解即可．