Question

13．已知A（0，2），B（4，0）．
（1）如图1，连接AB，若D（0，-6），DE⊥AB于点E，B、C关于y轴对称，M是线段DE上的一点，且DM=AB，连接AM，试判断线段AC与AM之间的位置和数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，在（1）的条件下，若N是线段DM上的一个动点，P是MA延长线上的一点，且DN=AP，连接PN交y轴于点Q，过点N作NH⊥y轴于点H，当N点在线段DM上运动时，△MQH的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）结论：AC=AM，AC⊥AM．由已知条件得到AD=BC，推出△CAB≌△AMD，根据全等三角形的性质得到AC=AM，∠ACO=∠MAD，由于∠ACO+∠CAO=90°，得到∠MAD+∠CAO=∠MAC=90°即可得到结论；
（2）过P作PG⊥y轴于G，证得△PAG≌△HND，根据全等三角形的性质得到PG=HN，AG=HD，证得△PQG≌△NHQ，得到QG=QH=$\frac{1}{2}$GH=4即可得到结论．

解答 解：（1）结论：AC=AM，AC⊥AM．理由如下：
∵A（0，2），B（4，0）D（0，-6），
∴OA=2，OD=6，OB=4，
∵AD=OA+OD=8，BC=2OB=8，
∴AD=BC，
在△CAB与△AMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=MD}\\{∠ABO=∠MDA}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△CAB≌△AMD，
∴AC=AM，∠ACO=∠MAD，
∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠MAD+∠CAO=∠MAC=90°，
∴AC=AM，AC⊥AM；

（2）是定值，定值为4．理由如下：
过P作PG⊥y轴于G，
在△PAG与△HND中，
$\left\{\begin{array}{l}{MA=MD}\\{∠NDO=∠MAO}\\{DN=PA}\end{array}\right.$，
∴△PAG≌△HND，
∴PG=HN，AG=HD，
∴AD=GH=8，
在△PQG与△NHQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PGQ=∠NHQ=90°}\\{∠PQG=∠HQN}\\{PG=NH}\end{array}\right.$，
∴△PQG≌△NHQ，
∴QG=QH=$\frac{1}{2}$GH=4，
∴S_△MQH=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、，垂直的定义，三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．