Question

（2009•遂宁）如图，二次函数的图象经过点D（0，），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了顶点的横坐标，可用顶点式来设二次函数的解析式如：y=a（x-4）²+k，根据二次函数过点（0，），可得出=16a+k；由于A、B关于x=4对称，且AB=6，不难得出A、B的坐标为（1，0），（7，0），可将它们的坐标代入解析式中即可求出a、k的值．
（2）本题的关键是确定P的位置，由于对称轴垂直平分AB，因此P不论在对称轴的什么位置都有PA=PB，连接DB，如果P是交点时，PA+PD的长就是BD的长，两点之间线段最短，因此要想PA+PD最小，P必为DB与对称轴的交点．可根据B、D的坐标求出BD所在直线的解析式，然后求出与抛物线对称轴的交点．即可得出P点的坐标．
（3）由于三角形ABC是等腰三角形，要想使QAB与三角形ABC相似，三角形QAB必须为等腰三角形．要分两种情况进行讨论：
①当Q在x轴下方时，Q，C重合，Q点的坐标就是C点的坐标．
②当Q在x轴上方时，应该有两个符合条件的点，抛物线的对称轴左右两侧各一个，且这两点关于抛物线的对称轴相对称．因此只需求出一点的坐标即可．以AQ=AB为例：可过Q作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，根据BQ即AB的长以及∠QBx的度数来求出Q的坐标．然后根据对称性求出另外一点Q的坐标．
解答：解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（x-h）²+k
∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，）
∴y=a（x-4）²+k，=16a+k①
又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6
∴A（1，0），B（7，0）
∴0=9a+k②
由①②解得a=，k=-
∴二次函数的解析式为：y=（x-4）²-

（2）∵点A、B关于直线x=4对称
∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值
∴DB与对称轴的交点即为所求点P
设直线x=4与x轴交于点M
∵PM∥OD，
∴∠BPM=∠BDO，
又∵∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴
∴
∴点P的坐标为（4，）

（3）由（1）知点C（4，），
又∵AM=3，
∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，
∴∠ACM=60°，
∵AC=BC，
∴∠ACB=120°
①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N

如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有
BQ=6，∠ABQ=120°，则∠QBN=60°
∴QN=3，BN=3，ON=10，
此时点Q（10，），
如果AB=AQ，由对称性知Q（-2，）
②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，
此时点Q的坐标是（4，），
经检验，点（10，）与（-2，）都在抛物线上
综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC
点Q的坐标为（10，）或（-2，）或（4，）．
点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质等知识点．要注意（2）中确定P点位置的方法．在（3）中不确定Q位置的情况下要分类进行讨论，不要漏解．