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    在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE=
    1
    2
    ∠BCA，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
    （1）若ABCD为正方形，
    ①如图（1），当点P与点C重合时．△BOG是否可由△POE通过某种图形变换得到？证明你的结论；
    ②结合图（2）求
    BF
    PE
    的值；
    （2）如图（3），若ABCD为菱形，记∠BCA=α，请探究并直接写出
    BF
    PE
    的值．（用含α的式子表示）
    分析：（1）△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到，求出△BOG≌△POE即可；
    （2）作PM∥AC交BG于M，交BO于N，求出证△BMN≌△PEN，推出BM=PE，证△BPF≌△MPF，推出BF=FM，即可求出答案；
    （3）作PM∥AC交BG于M，交BO于N，求出证△BMN≌△PEN，推出BM=PE，证△BPF∽△MPF，得出比例式，根据锐角三角形函数的定义即可求出答案．
    解答：（1）△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到．
    证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
    ∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°．
    ∵PF⊥BG，∠PFB=90°，
    ∴∠GBO=90°-∠BGO，
    ∠EPO=90°-∠BGO，
    ∴∠GBO=∠EPO，
    在△BOG和△POE中
    ∠GBO=∠OCE
    OB=OC
    ∠BOG=∠COE

    ∴△BOG≌△POE．
    ∴OE=OG，
    又∵∠EOG=90°，
    ∴将线段OE绕点O顺时针旋转90°就得到OG．
    又∵OB=OP，∠POB=90°，
    ∴将线段OP绕点O顺时针旋转90°就得到OB．
    ∴△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到．

    （2）如图2，作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
    ∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB，
    ∵∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NBP=∠NPB，
    ∴NB=NP．
    ∵∠MBN=90°-∠BMN，∠NPE=90°-∠BMN，
    ∴∠MBN=∠NPE，
    在△BMN和△PEN中
    ∠MBN=∠NPE
    NB=NP
    ∠MNB=∠ENP

    ∴△BMN≌△PEN，
    ∴BM=PE．
    ∵∠BPE=
    1
    2
    ∠ACB，∠BPN=∠ACB，
    ∴∠BPF=∠MPF．
    ∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°．
    又∵在△BPF和△MPF中
    ∠BPF=∠MPF
    PF=PF
    ∠BFP=∠MFP

    ∴△BPF≌△MPF，
    ∴BF=MF，即BF=
    1
    2
    BM，
    ∴BF=
    1
    2
    PE，即
    BF
    PE
    =
    1
    2
    ．


    （3）如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
    ∴∠BPN=∠BCA，
    ∵∠BPE=
    1
    2
    ∠BCA，
    ∴∠BPF=∠MPF，
    ∵PF⊥BG，
    ∴∠BFP=∠MFP，
    在△BFP和△MFP中
    ∠BFP=∠MFP
    PF=PF
    ∠BPF=∠MPF

    ∴△BFP≌△MFP（ASA），
    ∴BF=FM，
    即BF=
    1
    2
    BM，
    ∵四边形ABCD是菱形，
    ∴DB⊥AC，
    ∵PM∥AC，
    ∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°，
    ∴∠BNM=90°
    ∵∠PFM=90°，
    ∴∠MBN+∠BMN=90°，∠MPF+∠BMN=90°，
    ∴∠MBN=∠NPE，
    ∵∠BNM=∠ENP，
    ∴△BMN∽△PEN．
    ∴
    BM
    PE
    =
    BN
    PN
    ，
    ∵tanα=
    BN
    PN
    =
    BM
    PE
    =
    2BF
    PE
    ，
    ∴
    BF
    PE
    =
    1
    2
    tanα．
    点评：本题考查了正方形性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数的定义等知识点的应用，题目综合性比较强，难度偏大．
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