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    已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
    （Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；
    （Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；
    （Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B″，且使B″D∥OB，求此时点C的坐标．

    【答案】分析：（Ⅰ）因为折叠后点B与点A重合，那么BC=AC，可先设出C点的坐标，然后表示出BC，AC，在直角三角形OCA中，根据勾股定理即可求出C点的纵坐标，也就求出了C点的坐标；
    （Ⅱ）方法同（Ⅰ）用OC表示出BC，B′C然后在直角三角形OB′C中根据勾股定理得出x，y的关系式．由于B′在OA上，因此有0≤x≤2，由此可求出y的取值范围；
    （Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的思路，应该先得出OB″，OC的关系，知道OA，OB的值，那么可以通过证Rt△COB″∽Rt△BOA来实现．∠B″CO和∠CB″D是平行线B″D，OB的内错角，又因为∠OBA=∠CB″D，因此∠B″CO=∠OBA，即CB″∥BA，由此可得出两三角形相似，得出OC，OB″的比例关系，然后根据（1）（2）的思路，在直角三角形OB″C中求出OC的值，也就求出C点的坐标了．
    解答：解：（Ⅰ）如图①，折叠后点B与点A重合，则△ACD≌△BCD．
    设点C的坐标为（0，m）（m＞0），则BC=OB-OC=4-m．
    ∴AC=BC=4-m．
    在Rt△AOC中，由勾股定理，AC2=OC2+OA2，
    即（4-m）2=m2+22，解得m=．
    ∴点C的坐标为（0，）；

    （Ⅱ）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B′，
    ∴△B′CD≌△BCD．
    ∵OB′=x，OC=y，
    ∴B'C=BC=OB-OC=4-y，
    在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2=OC2+OB′2．
    ∴（4-y）2=y2+x2，
    即y=-x2+2．
    由点B′在边OA上，有0≤x≤2，
    ∴解析式y=-x2+2（0≤x≤2）为所求．
    ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
    ∴y的取值范围为≤y≤2；

    （Ⅲ）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B″，且B″D∥OC．
    ∴∠OCB″=∠CB″D．
    又∵∠CBD=∠CB″D，
    ∴∠OCB″=∠CBD，
    ∵CB″∥BA．
    ∴Rt△COB″∽Rt△BOA．
    ∴，
    ∴OC=2OB″．
    在Rt△B″OC中，
    设OB″=x（x＞0），则OC=2x．
    由（Ⅱ）的结论，得2x=-x2+2，
    解得x=-8±4．
    ∵x＞0，
    ∴x=-8+4．
    ∴点C的坐标为（0，8-16）．
    点评：本题综合考查了运用轴对称、相似三角形的性质和勾股定理的知识进行计算的能力．折叠型动态问题是近年来中考试题中的热点问题，它可以考查学生的综合能力，如想象能力、动手操作及创新意识能力等等，对于这类问题，通常从原图中选取满足条件的基本图形进行分析、解决问题．
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    22、如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1．
    （1）平移已知直角三角形，使直角顶点与点O重合，画出平移后的三角形；
    （2）将平移后的三角形绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形；
    （3）在方格纸中任作一条直线作为对称轴，画出（1）和（2）所画图形的轴对称图形，得到一个美丽的图案．

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    科目：初中数学 来源：2008年初中毕业升学考试（黑龙江牡丹江卷）数学（解析版） 题型：解答题

    如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1．

    （1）平移已知直角三角形，使直角顶点与点重合，画出平移后的三角形．

    （2）将平移后的三角形绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形．

    （3）在方格纸中任作一条直线作为对称轴，画出（1）和（2）所画图形的轴对称图形，得到一个美丽的图案．

     

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    科目：初中数学 来源：同步题 题型：解答题

    如下图，两把直尺，在尺上各贴一条坐标纸，以一个端点为0，以1mm为单位长，在0的右方1mm处标上1，表示12；在0的右方4mm处标上2；表示22；在0的右方9mm处标上3，16mm处标上4，分别表示32，42等等，用这种尺，可以在已知直角三角形两边的情况下，求出第三边。
    例如，已知两条直角边a=3，b=4，求斜边。
    先将上尺的0与下尺的3对齐，在上尺找到4，4在下尺所对的数5，便是所求的c的长。
    如果已知斜边c=5，一条直角边a=3，求另一条直角边，仍然是先将上尺的0与下尺的3对齐，然后在下尺上找到5，5在上尺上所对的数，就是另一条直角边的长。
    请你用勾股计算尺，求一条直角边长是5，斜边长为13的直角三角形的另一条直角边长。

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    科目：初中数学 来源：2008年黑龙江大兴安岭地区中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1．
    （1）平移已知直角三角形，使直角顶点与点O重合，画出平移后的三角形；
    （2）将平移后的三角形绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形；
    （3）在方格纸中任作一条直线作为对称轴，画出（1）和（2）所画图形的轴对称图形，得到一个美丽的图案．

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    科目：初中数学 来源：大兴安岭 题型：解答题

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