Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+b经过点C（2，4），与x轴，y轴分别相交于点B，A，直线DE与x轴交于点D（18，0），与直线AB相交于点E，点E在第二象限．
（1）求b的值；
（2）若△DAE的面积为72，求直线DE的表达式；
（3）在（2）的条件下，点P是直线DE上一点，点Q是坐标轴上一点，如果四边形BPCQ是平行四边形，请直接写出点P，Q的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）直接将（2，4）代入求出b的值即可；
（2）首先求出图象与坐标轴交点，进而利用三角形面积求出E点纵坐标，即可得出其坐标，进而利用待定系数法求一次函数解析式；
（3）利用当BC为边以及为对角线时分别求出符合题意的点的坐标即可．

解答：解：（1）∵直线y=-x+b经过点C（2，4），
∴4=-2+b，
解得：b=6；

（2）连接AD，
当x=0，则y=6，故A（0，6），
当y=0，x=6，故B（6，0），
∵点D（18，0），
∴BD=12，
∴S_△ABD=

1

2

×6×12=36，
设E点坐标为：（x，h）
∴S_△EBD=

1

2

×h×12=6h，
∵S_△EAD=S_△EBD-S_△ABD=6h-36=72，
解得：h=18，
∴18=-x+6，
解得：x=-12，
∴E（-12，18），
设直线DE的解析式为：y=ax+c，
故

-12a+c=18 18a+c=0

，
解得：

a=- 3 5 c= 54 5

，
∴直线DE的表达式为：y=-

3

5

x+

54

5

；

（3）当CP∥BQ，则P点纵坐标为：4，
故4=-

3

5

x+

54

5

，
解得：x=

34

3

，
∴P（

34

3

，4），
∵C（2，4），B（6，0），
∴Q（

40

3

，0），
当BC是对角线，P（

34

3

，4），
∴Q″（-

10

3

，0），
当如图所示：AB∥Q′P′，
P′点到x轴距离等于C点到x轴距离，
∴P′点纵坐标为：-4，
∴P′点横坐标为：-4=-

3

5

x+

54

5

，
解得：x=

74

3

，
∴P′（

74

3

，-4），
∴Q′（

68

3

，0）．
∴符合题意的坐标为：P（

34

3

，4），Q（

40

3

，0）；P（

34

3

，4），Q″（-

10

3

，0）；P′（

74

3

，-4），Q′（

68

3

，0）．

点评：此题主要考查了一次函数综合以及平行四边形的性质和三角形面积和待定系数法求一次函数解析式等知识，利用分类讨论得出是解题关键．