Question

19．如图，AB是⊙O的直径，点C是弧AD的中点，CE⊥AB于点E，AD交CE于点F，CG交BD的延长线于点G，且∠GCD=∠ACE．
（1）求证：AF=CE；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若∠GCD=30°，CD=6，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得出∠ACF+∠BCE=90°，由CE⊥AB，得出∠ABC+∠BCE=90°，即可证得∠ACF=∠ABC，由∠ABC=∠DBC=∠CAD，得出∠CAD=∠ACF，由等角对等边即可证得结论；
（2）连接CO，根据垂径定理得出OC⊥AD，根据等弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠CBD=∠ADC，根据∠GCD=∠ACE，∠ACE=∠ABC，得到∠GCD=∠ADC，证得CG∥AD，即可证得OC⊥CG，根据切线的判定得到CG是⊙O的切线；
（3）解直角三角形即可求得CE的长．

解答 （1）证明：∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ABC=∠DBC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCE=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ABC+∠BCE=90°，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠CAD=∠ACF，
∴AF=CE；
（2）证明：连接OC，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴OC⊥AD，
由（1）可知∠ACE=∠ABC，
∵∠GCD=∠ACE．
∴∠GCD=∠ACE，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠GCD=∠ADC，
∴AD∥CG，
∴OC⊥CG，
∴CG是⊙O的切线；
（3）解：∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴AC=CD=6，
∵∠ACE=∠GCD=30°，∠CEA=90°，
∴CE=cos30°•AC=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了垂径定理、圆周角定理的应用，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定以及切线的判定，解直角三角形等，熟练掌握性质定理是解题的关键．