【题目】如图,直线y=-x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B.
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;
(2)M(m,0)为线段OA上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N.
①点M在线段OA上运动,若△BPN∽△APM,求点M的坐标;
②过点N作NQ⊥AB于Q,当N点坐标是多少时,NQ取得最大值,最大值是多少?
【答案】(1)B(0,2),;(2)①M(2.5,0);②时,NQ有最大值
【解析】
(1)把A点坐标代入直线解析式可求得c,则可求得B点坐标,由A、B的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)①由M点坐标可表示P、N的坐标,由△BPN∽△APM,得到N点的纵坐标为2,可得到关于m的方程,可求得m的值,即可得到点M的坐标;
②先证出△ABO∽△NPQ,从而得到,再打AO,AB求出,用含m的式子把PN表示出来,即可得出关于m的二次函数关系式,利用二次函数的性质可得出NQ的最大值.
解:(1)∵与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,
∴可得c=2,
∴B(0,2)
∵抛物线经过点A,B,
∴ 解得
∴抛物线解析式为
(2)①由(1)可知直线解析式为
∵M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N,
∴P, N
∵△BPN∽△APM,且∠BPN=∠APM,
∴∠BNP=∠AMP=90° BN⊥MN,
∴N点的纵坐标为2,
∴
解得m=0(舍去)或m=2.5,
∴M(2.5,0)
②∵MN∥y轴,
∴∠NPQ=∠OBA
又∵∠BOA=∠NQP=90°
∴△ABO∽△NPQ
∴
∴
由(1)及①知AO=3,AB=
PN=-()=
∴
∴当时,NQ有最大值
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E,G两点,CE,BG相交于点O
(1)求证:AG=DE.
(2)已知AB=4,AD=5,
①求的值.
②求四边形ABOE的面积与△BOC的面积之比.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线y=kx+4(k≠0)交x轴于点A(8,0),交y轴于点B,
(1)k的值是 ;
(2)点C是直线AB上的一个动点,点D和点E分别在x轴和y轴上.
①如图,点E为线段OB的中点,且四边形OCED是平行四边形时,求OCED的周长;
②当CE平行于x轴,CD平行于y轴时,连接DE,若△CDE的面积为,请直接写出点C的坐标.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点为(x1,0),且0<x1<1,下列结论:①9a-3b+c>0;②b<c;③3a+c>0,其中正确结论两个数有______。
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣5,0),对称轴为直线x=﹣2,给出四个结论:①abc>0;②4a+b=0;③若点B(﹣3,y1)、C(﹣4,y2)为函数图象上的两点,则y2<y1;④a+b+c=0.其中,正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律组成的,请根据排列规律完成下列问题:
(1)填写下表:
图形序号 | 菱形个数个 |
| 3 |
| 7 |
| ______ |
| ______ |
|
|
(2)根据表中规律猜想,图n中菱形的个数用含n的式子表示,不用说理;
(3)是否存在一个图形恰好由91个菱形组成?若存在,求出图形的序号;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,2),B(1,0),C(2,1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点,则实数b的取值范围是( )
A. b≤-2B. b<-2C. b≥-2D. b>-2
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【题目】在不透明的布袋中装有1个红球,2个白球,它们除颜色外其余完全相同.
(1)从袋中任意摸出两个球,试用树状图或表格列出所有等可能的结果,并求摸出的球恰好是两个白球的概率;
(2)若在布袋中再添加a个白球,充分搅匀,从中摸出一个球,使摸到红球的概率为,试求a的值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+1的对称轴是直线x=1.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点D(n,y1),E(3,y2)在抛物线上,若y1<y2,请直接写出n的取值范围;
(3)设点M(p,q)为抛物线上的一个动点,当﹣1<p<2时,点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方,求k的取值范围.
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