Question

9．如图，⊙O与射线AM相切于点B，⊙O的半径为3．连结DA，作OC⊥OA交⊙O于点C，连结BC，交DA于点D．
（1）求证：AB=AD；
（2）若OD=1，求AB的长；
（3）是否存在△AOB与△COD全等的情形？若存在，求AB的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由OB=OC得出∠OCB=∠OBC，再利用对顶角和互余得出∠OBC+∠ADB=90°，再由切线的性质得出∠OBC+∠ABD=90°进而得出∠ABD=∠ADB即可；
（2）借助（1）的结论和勾股定理计算即可；
（3）分两种情况讨论计算：①计算出∠AOB和∠ODC，判断出这两个角不相等，得出此种情况不存在；
②先判断出点D是AD的中点，进而用勾股定理计算即可的出结论．

解答 解：（1）∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵OC⊥OA，
∴∠OCB+∠ODC=90°，
∴∠OBC+∠ODC=90°，
∵∠ADB=∠ODC，
∴∠OBC+∠ADB=90°，
∵⊙O与射线AM相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∴∠OBC+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD；
（2）由（1）知，AB=AD，
∴OA=AD+OD=AD+1，
在Rt△ABO中，AB²+OB²=OA²，
AD²+9=（AD+1）²，
∴AB=AD=4；
（3）存在，
理由：∵△AOB和△COD都是直角三角形，
∴△AOB与△COD全等，
只有AB=OC或AB=OD，
①当AB=OC时，
∵OB=OC，
∴AB=OB=3，
∴∠A=∠AOB=45°，
∵AB=AD，
∴∠ODC=∠ADB=67.5°≠∠AOB，
∴此种情况不存在，
②当AB=OD时，
∵AD=AB，
∴AD=OD，即：OA=2AD=2AB，
在Rt△ABO中，OB=3，
根据勾股定理得，AB²+OB²=AD²，
∴AB²+9=4AB²，
∴AB=$\sqrt{3}$
即：存在△AOB与△COD全等，此时AB=$\sqrt{3}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，同角或等角的余角相等，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出AD=AB．