Question

如图，∠PAQ是直角，⊙O与AP相切于点T，与AQ交于B、C两点．
（1）BT是否平分∠OBA，说明你的理由；
（2）若已知AT=4，弦BC=6，试求⊙O的半径R．

Answer 1

【答案】分析：（1）BT平分∠OBA，理由为：连接OT，由AP为圆O的切线，利用切线的性质得到OT垂直于AP，再由QA垂直于AP，得到OT与QA平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由OB=OT，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换可得出∠OBT=∠ABT，即BT为角平分线，得证；
（2）过O作OD垂直于BC，利用垂径定理得到D为BC的中点，由BC的长求出BD的长，再由四边形ADOT为矩形，利用矩形的对边相等得到OD=AT，由AT的长得出OD的长，在直角三角形OBD中，利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径．
解答：（1）BT平分∠OBA，理由为：
证明：连接OT，如图所示，
∵AP与圆O相切，
∴OT⊥AP，
∴∠OTP=90°，
又∠QAP=90°，
∴∠OTP=∠QAP，
∴OT∥QA，
∴∠OTB=∠ABT，
又∵OB=OT，
∴∠OBT=∠OTB，
∴∠OBT=∠ABT，
则BT平分∠OBA；

（2）解：过O作OD⊥BC，又BC=6，
可得D为BC的中点，即BD=CD=3，
∵四边形ODAT为矩形，
∴OD=AT=4，
在Rt△OBD中，BD=3，OD=4，
根据勾股定理得：OB==5，
则圆的半径为5．
点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，及垂径定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．