Question

【题目】如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10= ．

Answer 1

【答案】π

【解析】

试题分析：（1）图1，作辅助线构建正方形OECF，设圆O的半径为r，根据切线长定理表示出AD和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径=1（a、b是直角边，c为斜边），运用圆面积公式=πr2求出面积=π；

（2）图2，先求斜边上的高CD的长，再由勾股定理求出AD和BD，利用半径（a、b是直角边，c为斜边）求两个圆的半径分别是，从而求出两圆的面积和=π；

（3）图3，继续求高DM和CM、BM，利用半径（a、b是直角边，c为斜边）求三个圆的半径分别是，从而求出三个圆的面积和=π；

综上所述：发现S1+S2+S3+…+S10=π．