Question

15．如图，△ABC中，∠BCA=75°，∠ABC=45°，AB=6$\sqrt{2}$，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，当线段EF长度取最小值时，CD=12-6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连结OE、OF，作OG⊥EF于G，AH⊥BC于H，如图，设⊙O的半径为r，易得△ABH为等腰直角三角形，则AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=6，根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，于是根据圆周角定理得到∠EOF=2∠BAC=120°，则∠OEF=30°，接着根据垂径定理得EG=FG，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到EG=$\sqrt{3}$OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，则EF=2EG=$\sqrt{3}$r，由于AD为⊙O的直径，利用垂线段最短得AD=AH=6时，AD最短，半径最小，EF最小，此时CD=CH，接着利用75°的正切值求出CH，从而得到CD的长．

解答 解：连结OE、OF，作OG⊥EF于G，AH⊥BC于H，如图，设⊙O的半径为r，
∵∠ABC=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6$\sqrt{2}$=6，
∵∠BCA=75°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=180°-75°-45°=60°，
∴∠EOF=2∠BAC=120°，
∵OE=OF，
∴∠OEF=30°，
∵OG⊥EF，
∴EG=FG，
在Rt△OEG中，OG=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{1}{2}$r，
∴EG=$\sqrt{3}$OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∴EF=2EG=$\sqrt{3}$r，
∵AD为⊙O的直径，
∴当AD=AH=6时，AD最短，半径最小，EF最小，此时CD=CH，
在Rt△ACH中，tan∠ACH=tan75°=$\frac{AH}{CH}$=2+$\sqrt{3}$，
∴CH=$\frac{6}{2+\sqrt{3}}$=12-6$\sqrt{3}$，
∴此时CD的长为12-6$\sqrt{3}$．
故答案为12-6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．