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15.如图,△ABC中,∠BCA=75°,∠ABC=45°,AB=6$\sqrt{2}$,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F,连接EF,当线段EF长度取最小值时,CD=12-6$\sqrt{3}$.

分析 连结OE、OF,作OG⊥EF于G,AH⊥BC于H,如图,设⊙O的半径为r,易得△ABH为等腰直角三角形,则AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=6,根据三角形内角和计算出∠BAC=60°,于是根据圆周角定理得到∠EOF=2∠BAC=120°,则∠OEF=30°,接着根据垂径定理得EG=FG,然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到EG=$\sqrt{3}$OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r,则EF=2EG=$\sqrt{3}$r,由于AD为⊙O的直径,利用垂线段最短得AD=AH=6时,AD最短,半径最小,EF最小,此时CD=CH,接着利用75°的正切值求出CH,从而得到CD的长.

解答 解:连结OE、OF,作OG⊥EF于G,AH⊥BC于H,如图,设⊙O的半径为r,
∵∠ABC=45°,
∴△ABH为等腰直角三角形,
∴AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6$\sqrt{2}$=6,
∵∠BCA=75°,∠ABC=45°,
∴∠BAC=180°-75°-45°=60°,
∴∠EOF=2∠BAC=120°,
∵OE=OF,
∴∠OEF=30°,
∵OG⊥EF,
∴EG=FG,
在Rt△OEG中,OG=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{1}{2}$r,
∴EG=$\sqrt{3}$OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r,
∴EF=2EG=$\sqrt{3}$r,
∵AD为⊙O的直径,
∴当AD=AH=6时,AD最短,半径最小,EF最小,此时CD=CH,
在Rt△ACH中,tan∠ACH=tan75°=$\frac{AH}{CH}$=2+$\sqrt{3}$,
∴CH=$\frac{6}{2+\sqrt{3}}$=12-6$\sqrt{3}$,
∴此时CD的长为12-6$\sqrt{3}$.
故答案为12-6$\sqrt{3}$.

点评 本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了圆周角定理和勾股定理.

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(2)设四边形BCDE的面积为S,当0<t<3时,求S与t的函数关系式;
(3)当直线MN与△ABC的一边垂直时,求t的值;
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