在平面直角坐标系中如图.已知点A(0.2).点P是x轴上一动点.以线段AP为一边.在其右侧作等边三角形APQ.当点P运动到原点O处时.记Q的位置为B.已知在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.即直角三角形两直角边长为a.b.斜边长为c.则a2+b2=c2．(1)求点B的坐标,(2)在坐标轴是否存在一点G.△GOB为等腰三角形.若存在.请直接写出G点坐标.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．

在平面直角坐标系中如图，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其右侧作等边三角形APQ，当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B，已知在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即直角三角形两直角边长为a，b，斜边长为c，则a²+b²=c²．
（1）求点B的坐标；
（2）在坐标轴是否存在一点G，△GOB为等腰三角形，若存在，请直接写出G点坐标，若不存在，请说明理由．
（3）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ的值会发生怎样的变化，证明你的结论．

分析（1）如图，作辅助线；证明∠BOC=30°，OB=2，借助直角三角形的边角关系即可解决问题；
（2）分类讨论：点G位于x轴和y轴两种情况；
（3）证明△APO≌△AQB，得到∠ABQ=∠AOP=90°，即可解决问题．

解答解：（1）如图，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵△AOB为等边三角形，且OA=2，
∴∠AOB=60°，OB=OA=2，
∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，
∴BC=$\frac{1}{2}$OB=1，OC=$\sqrt{3}$，
∴点B的坐标为B（$\sqrt{3}$，1）；

（2）当点G位于x轴上时，①OG=OB，此时G点的坐标为（±2，0）；
②OB=BG，此时点G的坐标为（2$\sqrt{3}$，0）；
③OG=BG，此时点G的坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）；
当点G位于y轴上时，①OG=OB，此时G点的坐标为（0，±2）；
②OB=BG，此时点G的坐标为（0，2）；
③OG=BG，此时点G的坐标为（0，2）；
综上所述，符合条件的点G的坐标为：（±2，0）或（2$\sqrt{3}$，0）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）或（0，±2）；

（3）∠ABQ=90°，始终不变．理由如下：
∵△APQ、△AOB均为等边三角形，
∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO与△AQB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AQ}\\{∠PAO=∠QAB}\\{AO=AB}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°．

点评本题综合考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质，注意利用分类讨论得出是解题关键．

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