Question

已知二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁、x₂，一元二次方程x²+b²x+20=0的两实根为x₃、x₄，且x₂-x₃=x₁-x₄=3，求二次函数的解析式，并写出顶点坐标．

Answer 1

【答案】分析：先将x₂-x₃=x₁-x₄=3化简为两根之和的形式，再代入数值进行计算．
解答：解：∵x₂-x₃=x₁-x₄=3
∴x₂-x₃=3，x₁-x₄=3
∴x₂-x₃+x₁-x₄=6即（x₁+x₂）-（x₃+x₄）=6
∴（x₁+x₂）-（x₃+x₄）=-b+b²=6，即b²-b-6=0，解得：b=-2或3
∵x₂-x₃=x₁-x₄
∴|x₁-x₂|=|x₃-x₄|
即=
∴9-4c=81-4×20，
解得：c=2
又∵一元二次方程x²+b²x+20=0有两实根
∴△=b⁴-80≥0，
当b=-2，c=2时，有y=x²-2x+2，
△=4-4×1×2=-4＜0，
与x轴无交点，
∴b=-2不合题意舍去
则解析式为y=x²+3x+2，
根据顶点坐标公式可得顶点坐标：．
点评：要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x₁-x₂|，并熟练运用．