Question

2．由四个相同的小正方形拼成如图，能否将连续的24个自然数分别放在图中所示的24个黑点处（每处放一个，每个数只使用一次）使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等？若能，请给出一个例子；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 不能，设放的最小的自然数为a，则放的最大的自然数为a+23，得到这24个自然数的和为A=12（2a+23）．假设可能，设每个正方形边上所放的数之和为S，因为共有5个正方形，这些和的和为5S，因为每个数在这些和中出现两次，所以5S=2A，记最小的16个数的和为B，则B=8（2a+15），再分两种情况讨论：（1）B≤S；（2）B＞S即可求解．

解答 解：不能，
设放的最小的自然数为a，则放的最大的自然数为a+23，
那么，这24个自然数的和为A=24a+276=12（2a+23）．
假设可能，每个正方形边上的数之和为S，
因为共有5个正方形，所以这些正方形的数字的和为5S，
我们发现每个数在这些和中出现两次，所以5S=2A，
记最小的16个数的和为B，则B=8（2a+15），
①B≤S，则S=$\frac{2}{5}$A=$\frac{24}{5}$（12a+23）≥8（2a+15），即9.8a+110.4≥16a+120，
不存在自然数a使不等式成立；
②B＞S，因为此时不可能选择最大正方形边上的16个数字使16个数的和等于S，
所以，也不可能．

点评 本题考查了作图-应用与设计作图以及数字和的问题，运用了整体思想和分类思想，有一定的难度．