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如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点,并与x轴交于另一点C(点C点A的右侧),点P是第二象限的抛物线上一动点.

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;

(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积最大?最大面积是多少?

(3)当(2)中点P运动到△PAB的面积最大时,x轴上是否存在点D,使△PDB的周长最小,若存在,求出点D的坐标,若不存在。请说明理由。

(1)抛物线解析式为y=-x2-3x+4.C(1,0).(2)P(-2,6),8;(3)点D的坐标为(-,0).

【解析】

试题分析:(1)把A(-4,0),B(0,4)代入抛物线y=-x2+bx+c,可得出抛物线解析式,当y=0时即可得出点C的坐标.

(2)设y=x+b与抛物线y=-x2-3x+4只有一个交点时,△PAB的面积最大,利用判别式求出b的值,再联立可得出点P的坐标,过点B作BM⊥PN交PN于点M,利用三角函数求出BM,再利用△PAB的面积公式即可求出答案.

(3)连接BP,作点B关于原点O的对称点B′,连接B′P,交x轴于点D,这时△PDB的周长最小.先求出点B′的坐标,再利用坐标求出PB′所在的直线,即可求出与x轴的交点D的坐标.

试题解析:(1)∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,

∴A(-4,0),B(0,4)抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点,可得

解得

∴抛物线解析式为y=-x2-3x+4.

令y=0,得-x2-3x+4=0,

解得x1=-4,x2=1,

∴C(1,0).

(2)如图1,

设y=x+b与抛物线y=-x2-3x+4只有一个交点时,△PAB的面积最大,

∵由x+b=-x2-3x+4化简x2+4x+b-4只有一个解,得△=16-4×(b-4)=32-4b=0,解得b=8.

∴y=x+8,

∴联立得方程组得

解得

∴P(-2,6)

过点B作BM⊥PN交PN于点M,

∵BN=ON-OB=8-4=4,sin∠MNB=

∴BM=4×=2

△PAB的面积=ABBM=×4×2=8.

(3)存在.

如图2,

连接BP,作点B关于原点O的对称点B′,连接B′P,交x轴于点D,这时△PDB的周长最小.

∵点B(0,4),

∴点B′(0,-4),

∵P(-2,6)

∴设PB′所在的直线为y=kx+b得

解得

∴PB′所在的直线为y=-5x-4,

点D的坐标为(-,0).

考点:二次函数综合题.

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