Question

4．如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均为鋭角，P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥C交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形，当点P与点B重合时，图1变为图2，若∠ABD=90°，求证：△ABR≌△CRD．

Answer 1

分析 可先证CR⊥BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质，求得∠BCR=∠DCR，进而求得∠BAR=∠DCR，又有AB=CR，AR=BC=CD，可证△ABR≌△CRD；

解答 证明：∵∠ABD=90°，AB∥CR，
∴CR⊥BD．
∵BC=CD，
∴∠BCR=∠DCR．
∵四边形ABCR是平行四边形，
∴∠BCR=∠BAR．
∴∠BAR=∠DCR．
∵AB=CR，AR=BC=CD，
在△ABR和△CRD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CR}\\{∠BAR=∠DCR}\\{AR=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABR≌△CRD（SAS）．

点评 此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△ABR≌△CRD是关键．