Question

已知，如图：O₁为x轴上一点，以O₁为圆心作⊙Ο₁交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙Ο₁于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．
（1）如图1，求⊙Ο₁半径及点E的坐标；
（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为CND上两动点（AB∥CD）时，试问：BF+CF与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．

Answer 1

分析：（1）根据直线解析式解出D，M坐标，再根据相交弦定理解出圆的直径长，连接EO₁，利用直角三角形解出E点坐标．
（2）连接EC，过E作EG⊥AC于G，首先证∠ECF=∠ECG（可连接MA，利用圆内接四边形的性质来求），然后通过证△ECF、△ECG全等来解．

解答：解：（1）如图1，∵直线DM的解析式为y=3x+3，
∴D（-1，0），M（0，3），
∵△DMO∽△DCM，
∴OD•CD=DM•DM，DM=

1+9

= 

10

，
∴CD=10，半径为

1

2

CD=5．
连接EO₁，易知∠EO₁C=2∠EMC=90°．
点E的坐标（4，5）．

（2）如图2，连接EC，过E作EG⊥AC于G，连接MA；
又∵∠EO₁C=90°，AB∥CD，
∴优弧ECB=优弧EDN，
∴∠ECG=∠EAB=∠ECF．
又∵EC=EC，∠EGC=∠EFC
∴△ECF≌△ECG，得出CF=CG，EG=EF；
又∵∠ENC=∠EBC，
∴△ENG≌△EBF，
∴BF=NG，
∴BF+CF=NG+CG=AC．

点评：考查了三角形的外接圆，全等三角形的证明以及相交弦定理的应用．