【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(3,2),连接AB. 若对于平面内一点P,线段AB上都存在点Q,使得PQ≤1,则称点P是线段AB的“临近点”.
(1)在点C(0,2),D(2,),E(4,1)中,线段AB的“临近点”是__________;
(2)若点M(m,n)在直线上,且是线段AB的“临近点”,求m的取值范围;
(3)若直线上存在线段AB的“临近点”,求b的取值范围.
【答案】(1)C、D ;(2)0≤m≤;(3).
【解析】
(1)根据线段AB的“临近点”的定义解答即可;
(2)设与y轴交于M,与A2B2交于N,求出M的坐标和N的坐标,即可得出m的取值范围.
(3)分别求出直线与半圆A相切、半圆B相切时b的值,即可得到结论.
(1)∵A(1,2),C(0,2),∴AC=1.
∵A(1,2)在线段AB上,∴点C是线段AB的“临近点”;
∵点离线段AB上(2,2)点最近,2-=<1,∴点D是线段AB的“临近点”;
∵E(4,1)与线段AB上点B的距离最近,EB=>1,∴点E不是线段AB的“临近点”.
故线段AB的“临近点”是C、D .
(2)如图,设与y轴交于M,与A2B2交于N,易知M(0,2),∴m≥0,易知N的纵坐标为1,代入,可求横坐标为,∴m≤,∴0≤m≤.
(3)如图2,设直线为l,令y=0,得:x=b.当直线与半圆A相切时,过A作AF⊥直线l于F,作AH⊥x轴于H,交直线l于点R,则∠FAR=∠RGH=30°.
∵A(1,2),∴OH=1,AH=2.
∵AF=1,∠FAR=30°,∴AR=,∴RH=AH-AR=2-.
在Rt△RHG中,∵∠RGH=30°,∴HG=RH.
∵HG=OG-OH=,∴=,解得:;
当直线与半圆B相切时,类似可求:;
∴.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=20°。动点P,Q分别在直线BC上运动,且始终保持∠PAQ=100°。设BP=x,CQ=y,求y与x之间的函数表达式。
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2﹣2ax+b的顶点在x轴上,P(x1,m),Q(x2,m)(x1<x2)是此抛物线上的两点.
(1)若a=1.
①当m=b时,求x1,x2的值;
②将抛物线沿y轴平移,使得它与x轴的两个交点间的距离为4,试描述出这一变化过程;
(2)若存在实数c,使得x1≤c﹣1,且x2≥c+7成立,则m的取值范围是_______.
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【题目】已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y2=kx+n(k≠0)的图象如图所示,下面有四个推断:
①二次函数y1有最大值;
②二次函数y1的图象关于直线x=﹣1对称
③当x=﹣2时,二次函数y1的值大于0
④过动点P(m,0)且垂直于x轴的直线与y1,y2的图象的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时,m的取值范围是m<﹣3或m>﹣1.
以上推断正确的是( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
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【题目】如图,反比例函数的图象与一次函数的图象分别交于M,N两点,已知点M(-2,m).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)点P为y轴上的一点,当∠MPN为直角时,直接写出点P的坐标.
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【题目】某销售商准备在南充采购一批丝绸,经调查,用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等,一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元.
(1)求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元?
(2)若销售商购进A型、B型丝绸共50件,其中A型的件数不大于B型的件数,且不少于16件,设购进A型丝绸m件.
①求m的取值范围.
②已知A型的售价是800元/件,销售成本为2n元/件;B型的售价为600元/件,销售成本为n元/件.如果50≤n≤150,求销售这批丝绸的最大利润w(元)与n(元)的函数关系式.
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【题目】如图,把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ(0°<θ<90°)得到另一条数轴y,x轴和y轴构成一个平面斜坐标系.规定:过点P作y轴的平行线,交x轴于点A,过点P作x轴的平行线,交y轴于点B,若点A在x轴上对应的实数为a,点B在y轴上对应的实数为b,则称有序实数对(a,b)为点P的斜坐标,在某平面斜坐标系中,已知θ=60°,点M′的斜坐标为(3,2),点N与点M关于y轴对称,则点N的斜坐标为_____.
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【题目】在平面直角坐标系内,以原点O为圆心,1为半径作圆,点P在直线上运动,过点P作该圆的一条切线,切点为A,则PA的最小值为
A. 3 B. 2 C. D.
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【题目】如图,过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A,连接PO并延长,与⊙O交于C、D两点,M是半圆CD的中点,连接AM交CD于点N,连接AC、CM.
(1)求证:CM2=MN.MA;
(2)若∠P=30°,PC=2,求CM的长.
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