Question

有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连结BD、MF，此时他测得BD＝8cm，∠ADB＝30°．

小题1:在图1中，请你判断直线FM和BD是否垂直？并证明你的结论；
小题2:小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB₁D₁，AD₁交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；

小题3:若将△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如图3），F₂M₂与AD交于点P，A₂M₂与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少.

Answer 1

小题1:垂直.  …………………………1分
证明：延长FM交BD于N.
如图1，由题意得：△BAD≌△MAF．
∴∠ADB＝∠AFM．
又∵∠DMN＝∠AMF，
∴∠ADB＋∠DMN＝∠AFM＋∠AMF＝90°．
∴∠DNM＝90°，∴BD⊥MF．   2分
小题2:β的度数为60°或15°（答对一个得1分）   4分
小题3:如图2，由题意知四边形PNA₂A为矩形，设A₂A＝x，则PN＝x．

在Rt△A₂M₂F₂中，∵M₂F₂＝MF＝BD＝8，∠A₂F₂M₂＝∠AFM＝∠ADB＝30°．
∴M₂A₂＝4，A₂F₂＝. …………………………..5分
∴AF₂＝－x．
在Rt△PAF₂中，∵∠PF₂A＝30°．
∴AP＝AF₂30°＝(－x)·＝4－x．
∴PD＝AD－AP＝－4＋x． ……………..6分
∵NP∥AB，∴＝．∴＝，
解得x＝6－．即平移的距离是(6－)cm．………………7分

略