Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣8）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+3x﹣8；（2）点F的坐标是F（﹣4，﹣12）；（3）点Q有坐标为（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）或（0，0）．

【解析】

（1）将A，B，C的坐标代入函数y＝ax2+bx+c即可；

（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N，求出直线BC的解析式，设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），再用含m的代数式表示出△BCF的面积，用函数的思想即可推出结论；

（3）此问要分BQ＝BF，QB＝QF，FB＝FQ三种情况进行讨论，分别用勾股定理可求出m的值，进一步写出点Q的坐标．

（1）将A（2，0），B（﹣8，0）C（0，﹣8）代入函数y＝ax2+bx+c，

得，

解得，，

∴抛物线解析式为y＝x2+3x﹣8；

（2）如图1中，

作FN∥y轴交BC于N，

将B（﹣8，0）代入y＝kx﹣8，

得，k＝﹣1，

∴yBC＝﹣x﹣8，

设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），

∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC

＝FN×8

＝4FN

＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]

＝﹣2m2﹣16m

＝﹣2（m+4）2+32，

∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，

此时F（﹣4，﹣12），

∴点F的坐标是F（﹣4，﹣12）；

（3）存在点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形，理由如下：

①如图2﹣1，

当BQ＝BF时，

由题意可列，82+m2＝（8﹣4）2+122，

解得，m1＝，m2＝

∴Q1（0，），Q2（0，）；

②如图2﹣2，

当QB＝QF时，

由题意可列，82+m2＝（m+12）2+42，

解题，m＝﹣4，

∴Q3（0，﹣4）；

③如图2﹣3，

当FB＝FQ时，

由题意可列，（8﹣4）2+122＝（m+12）2+42，

解得，m1＝0，m2＝﹣24，

∴Q4（0，0），Q5（0，﹣24）；

设直线BF的解析式为y＝kx+b，

将B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12）代入，

得，

解得，k＝﹣3，b＝﹣24，

∴yBF＝﹣3x﹣24，

当x＝0时，y＝﹣24，

∴点B，F，Q重合，故Q5舍去，

∴点Q有坐标为（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）或（0，0）．