Question

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）连接AE，交BD于点G，求证：

DG

GB

=

DF

DB

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定

专题：证明题

分析：（1）证△BAD≌△CDA，推出∠ABD=∠ACD=∠CDE，推出AC∥DE即可；
（2）根据平行得出比例式，再根据比例式的性质进行变形，即可得出答案．

解答：证明：（1）∵梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，
∴∠BAD=∠CDA，
在△BAD和△CDA中

AD=AD ∠BAD=∠CDA AB=CD

∴△BAD≌△CDA（SAS），
∴∠ABD=∠ACD，
∵∠CDE=∠ABD，
∴∠ACD=∠CDE，
∴AC∥DE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；

（2）∵AD∥BC，
∴

AD

BE

=

DG

GB

，

BC

AD

=

BF

DF

，
∴

BC+AD

AD

=

BF+DF

DF

，
∵平行四边形ACED，AD=CE，
∴

BC+CE

AD

=

BF+DF

DF

，
∴

BE

AD

=

BD

DF

，
∴

AD

BE

=

DF

BD

，
∴

DG

GB

=

DF

DB

．

点评：本题考查了比例的性质，平行四边形的判定，平行线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．