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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，对称轴为x=2的抛精英家教网物线y=ax2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一点C．
    （1）求该抛物线所对应的函数关系式及顶点M的坐标；
    （2）将（1）中的抛物线在x轴下方部分沿着x轴翻折，点M的对应点为M′．
    ①判断点M′是否落在直线AB上，并说明理由；
    ②若点P（m，n）是直线AB上的动点，点Q是（1）中抛物线上的动点，是否存在点P，使以点P、Q、M、M′为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据直线的解析式可以求出A点B点的坐标，然后根据对称轴和A点坐标及抛物线的对称性可以求出C点的坐标，再根据ABC的坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式，最后化成顶点式就可以求出顶点坐标．
    （2）①根据轴对称求出M′的坐标，将该坐标代入直线的解析式判断M′是否在直线上，使问题解决．
    ②根据平行四边形的性质分两种情况；当MM′是对角线和是边时两种不同的情况求出P点的相应坐标．
    解答：解：（1）当x=0时，y=-0+3，则y=3
    ∴B（0，3）
    当y=0时，0=-x+3，则x=3
    ∴A（3，0）
    设对称轴与x轴相交于点H，
    ∴H（2，0）
    ∴AH=1
    根据抛物线的对称性可知CH=1精英家教网
    ∴OC=1
    ∴C（1，0）
    3=c
    0=9a+3b+c
    0=a+b+c
    解得
    a=1
    b=-4
    c=3

    抛物线的解析式为：y=x2-4x+3
    y=（x-2）2-1
    ∴M（2，-1）

    （2）①∵点M与点M′关于x轴对称
    ∴M′（2，1）
    ∴MM′=2
    当x=2时，y=-2+3=1，
    ∴M′在直线AB上
    ②存在，
    当以MM′为四边形的对角线时，
    ∵HM=HM′=1，CH=AH=1
    ∴四边形CMAM′是平行四边形，此时P、Q分别于A、C重合
    ∴P（3，0）
    当以MM′为边时
    要使以点P、Q、M、M′为顶点的四边形是平行四边形
    ∴PQ∥MM′，PQ=MM′
    ∵P、Q是直线AB和（1）抛物线上的动点
    ∴P、Q的坐标分别为（m，-m+3）（m，m2-4m+3）
    ∴PQ=MM′=2
    ∴|m2-4m+3-（-m+3）|=2
    ∴m2-3m=±2
    由m2-3m=2得m=
    3±
    		17
    2

    ∴P（
    3+
    		17
    2
    ，
    3-
    		17
    2
    ）或（
    3-
    		17
    2
    ，
    3+
    		17
    2
    ）
    由m2-3m=-2得m=1或2
    当m=2时，点P与M′重合，舍去．
    P（1，2）
    综上所述，∴P1（3，0），P2（
    3+
    		17
    2
    ，
    3-
    		17
    2
    ），P3（
    3-
    		17
    2
    ，
    3+
    		17
    2
    ），P4（1，2）
    点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的图象特征的运用，轴对称的性质，平行四边形的性质与判定．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    ．

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    k
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    k
    x
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    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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