Question

如图，△ABC和△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，连结BD，BE，CE，延长CE交AB于点F，交BD于点G．
（1）求证：△AFC∽△GFB；
（2）若△ADE是边长可变化的等腰直角三角形，并将△ADE绕点A旋转，使CE的延长线始终与线段BD（包括端点B、D）相交．当△BDE为等腰直角三角形时，求出AB：BE的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）利用SAS即可证明：△ADB≌△AEC，证得∠DBA=∠ECA，则根据两角对应相等的两个三角形相似即可证得；
（2）分当∠DEB=90°，当∠EDB=90°，当∠DBE=90°三种情况进行讨论．分别利用勾股定理即可求解．

解答：解：（1）证明：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°．
∴∠DAB=∠EAC．
∴在△ADB和△AEC中，

AD=AE ∠DAB=∠EAC AB=AC

∴△ADB≌△AEC，
∴∠DBA=∠ECA．
又∵∠GFB=∠AFC，
∴△AFC∽△GFB．
（2）解：∵△AFC∽△GFB，
∴∠FGB=∠FAC=90°．
①当∠DEB=90°，DE=BE时，如图①所示，
设AD=AE=x，则DE=

2

x．
∵△BDE为等腰直角三角形，
∴BE=DE=

2

x．
∴BD=2x．
∵∠ADB=∠ADE+∠EDB=45°+45°=90°，
∴AB=

AD2+BD2

=

5

x．
∴AB：BC=

5

：

2

；
②当∠EDB=90°，DE=DB时，如图②所示，
同理设AD=AE=x，则DE=

2

x=BD．
∴BE=2x．
∵∠AEB=90°，
∴AB=

AE2+BE2

=

5

x．
∴AB：BE=

5

：2．
③当∠DBE=90°，BD=BE时，如图③所示，
同理设AD=AE=x，则DE=

2

x．
∴BD=BE=x．
∴四边形ADBE是正方形，
∴AB=DE=

2

x．
∴AB：BE=

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与勾股定理，注意到分三种情况讨论，正确作出对应的图形是解决本题的关键．