Question

16．如图，已知点A（1，a）是反比例函数y=-$\frac{3}{x}$的图象上一点，直线y=-$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$与反比例函数y=-$\frac{3}{x}$的图象在第四象限的交点为点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，则点P的坐标为（4，0）
（3）在（2）的情况下，求过P、B、O三点的抛物线的解析式，并求出抛物线的顶点坐标．

Answer 1

分析 （1）先把A（1，a）代入反比例函数解析式求出a得到A点坐标，再解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$得B点坐标，然后利用待定系数法求AB的解析式；
（2）直线AB交x轴于点Q，如图，利用x轴上点的坐标特征得到Q点坐标，则PA-PB≤AB（当P、A、B共线时取等号），于是可判断当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，从而得到P点坐标．
（3）在（2）的情况下，设过P、B、O三点的抛物线的解析式为y=mx（x-4），把B（3，-1）代入，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．

解答 解：（1）把A（1，a）代入y=-$\frac{3}{x}$得a=-3，则A（1，-3），
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，则B（3，-1），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（1，-3），B（3，-1）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-3}\\{3k+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为y=x-4；

（2）直线AB交x轴于点Q，如图，
当y=0时，x-4=0，解得x=4，则Q（4，0），
因为PA-PB≤AB（当P、A、B共线时取等号），
所以当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，此时P点坐标为（4，0）．
故答案为（4，0）；

（3）在（2）的情况下，设过P、B、O三点的抛物线的解析式为y=mx（x-4），
把B（3，-1）代入，得-1=-3m，解得m=$\frac{1}{3}$，
所以抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x（x-4），即y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点：反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求二次函数的解析式．