Question

8．已知：如图，一次函数y=-$\sqrt{3}$x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边作Rt△ABC，且∠ABC=30°，∠BAC=90°，点C在第一象限
（1）求AB的长及点C的坐标；
（2）求点C作AB的平行线，与x轴、y轴分别相交于点D、E
①求直线DE的解析式；
②若点P是线段DE上的一个点，且△ABP是等腰三角形，求EP的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作CH⊥OA于H．在Rt△ACH中求出CH，AH即可．
（2）①由DE∥AB，可以设直线DE的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+b，把（2$\sqrt{3}$，1）的坐标代入得b=7，由此即可解决问题．
②分三种情形讨论ⅰ：当AP=AB时，如图2中．ⅱ：当BA=BP时，如图3中，作BT⊥EC于T．ⅲ：当PA=PB时，如图4中，作PH⊥AB于H．分别求解即可．

解答 解：（1）如图1中，作CH⊥OA于H．

∵一次函数y=-$\sqrt{3}$x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（$\sqrt{3}$，0），B（0，3），
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BAO=60°，
在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2，
在Rt△ACH中，∵∠AHC=90°∠CAH=30°，AC=2，
∴CH=1，AH=$\sqrt{3}$，
∴OA=2$\sqrt{3}$，
∴C（2$\sqrt{3}$，1）．

（2）①∵DE∥AB，
∴设直线DE的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+b，
把（2$\sqrt{3}$，1）的坐标代入得b=7，
∴直线DE的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+7．

②应分三种情况：
ⅰ：当AP=AB时，如图2中，

由（1）可知AP=AB=2$\sqrt{3}$，AC=2，
在Rt△APC中，PC=$\sqrt{A{P}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，AC=2，
∴CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△EOD中，∵∠OED=30°，OD=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
∴DE=2OD=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$，
∴EC=ED-CD=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴EP=EC-PC=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$

ⅱ：当BA=BP时，如图3中，作BT⊥EC于T，

∵BT=AC=2，ET=TC=2$\sqrt{3}$，
TP₁=TP₂=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴EP₁=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$，EP₂=2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{2}$．

ⅲ：当PA=PB时，如图4中，作PH⊥AB于H．

∴BH=AH=PC=$\sqrt{3}$，
∴EP=EC-PC=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查一次函数的应用、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两直线平行k相同、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．