Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为BC边上的一个动点，E、F分别是AC、AB边上的点，且DF∥AC、CE=DE．
（1）证明：四边形DEAF是平行四边形；
（2）当点D在BC边上运动时，（DF∥AC、CE=DE保持不变）那么是否存在点D，使四边形AFDE为菱形（不再增添辅助线），并请证明你的结论．
（这样改动的目的是使学生明白当点D运动时，E、F也在运动．）

Answer 1

证明：（1）∵DF∥AC，
∴∠FDC=∠C．
又∵AB=AC，CE=DE，
∴∠B=∠C，∠EDC=∠C．
∴∠B=∠EDC．
∴DE∥AB．
又∵DF∥AC，
∴四边形DEAF是平行四边形．

（2）当点D运动到BC的中点处时，四边形DEAF是菱形；
由（1）可知：∠B=∠C，
∠EDB=∠FDC，
又∵BC=CD，
∴△BDE≌△CDF．
∴DE=DF且四边形DEAF是平行四边形．
∴四边形DEAF是菱形．
分析：（1）可通过证明AF∥DE来得出结论，根据两组相等边，可得出∠B=∠C，∠EDC=∠C，那么∠EDC=∠B，由此可得出AF∥DE，再根据DF∥AC即可得出本题所求的结论．
（2）存在这样的D点，因为首先AFDE是个平行四边形，要使其成为菱形，那么AE=DE=CE，DE就是三角形ABC的中位线，那么此时D是BC的中点．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形和菱形的判定等知识点．