Question

11．已知：如图，在平面直角坐标系中．四边形ABCO是长方形，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，AB∥CO，A（0，10），C（8，0），D为BC的中点，动点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿O-A-B-C-O向终点O匀速运动，到O停止运动．设P运动时间为t秒．
（1）直接写出点B的坐标．当t=15时求P的坐标；
（2）点P在运动过程中，当P到BC的距离为3个单位长度时，P的运动时间为15或31秒；
（3）点P出发10秒时．点Q以每秒2个单位长度的速度沿O-A-B-C-O向终点O匀速运动，到O停止运动，当P、Q在运动路线上相距的路程为4个单位长度时，求△ODP的面积．

Answer 1

分析 （1）根据长方形的性质可得点B的横坐标与点C的横坐标相同，纵坐标与点A的纵坐标相同，然后写出即可；再求出t=15时点P的位置，然后写出点P的坐标；
（2）分点P在OC和AB上两种情况讨论求解；
（3）分三种情况讨论：点P在点Q的前面；点P在点Q的后面；点Q停止，点P运动，分别根据路程的关系列出方程求解即可．

解答 解：（1）如图1，∵长方形OABC中，AB∥CO，BC∥AO，A（0，10），C（8，0），
∴点B的横坐标为8，纵坐标为10，
∴点B（8，10），
当t=15时，15-10=5＜8，
∴点P在AB上，且到点A的距离为5，
∴此时，点P坐标为（5，10）；

（2）如图2，当点P在AB上时，PB=3，
∴t=（10+8-3）÷1=15秒；
当点P在OC上时，PC=3，
∴t=（10+8+10+3）÷1=31秒，
∴点P运动的时间为15秒或31秒，
故答案为：15或31；

（3）∵D为BC的中点，
∴BD=5=DC，即D（8，5），
若点P在点Q前面，设点Q运动x秒时，点P、Q在运动路线上相距的路程为4个单位长度，
故x+10=4+2x，
∴x=6，
此时，点P在AB上，AP=6×1=6，PB=8-6=2，如图3，

∴△ODP的面积=梯形AODB的面积-△AOP的面积-△BDP的面积
=$\frac{（5+10）×8}{2}$-$\frac{1}{2}$×6×10-$\frac{1}{2}$×2×5
=60-30-5
=25；
若点P在点Q后面，设点Q运动x秒时，点P、Q在运动路线上相距的路程为4个单位长度，
则2x=10+x+4，
∴x=14，
此时，点P在BC上，BP=14-8=6，DP=BP-BD=6-5=1，如图4，

∴△ODP的面积=$\frac{1}{2}$×DP×OC=$\frac{1}{2}$×1×8=4；
若点Q到达点O停止运动，而点P运动，则当点P、Q在运动路线上相距的路程为4个单位长度时，点P在OC上，OP=4，如图5，

∴△ODP的面积=$\frac{1}{2}$×OP×CD=$\frac{1}{2}$×4×5=10．
综上所述，当P、Q在运动路线上相距的路程为4个单位长度时，△ODP的面积为25或4或10．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，三角形的面积计算等知识点，解题时注意分类讨论思想的运用，在分类时要注意不能遗漏，也不能重复．