Question

2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，
（1）在腰AB上能否找一点P，使∠DPC=90°，若能，请求出AP的长；
（2）能否在在腰AB上确定点P，使得D发出的光线在P点反射后经过C点，若能，请求出AP的长．

Answer 1

分析 （1）当∠DPC=90°时，得到∠ADP=∠BPC，证得△PAD∽△PBC，得到比例式$\frac{PA}{BC}$=$\frac{AD}{PB}$，代入数值即可求出；
（2）当D发出的光线在P点反射后经过C点时，即入射角=反射角，得到∠APD=∠BPC，证得△ADP∽△BPC，得到比例式$\frac{AP}{BP}$=$\frac{AD}{BC}$，代入数值即可求出．

解答 解：（1）存在；
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°，
当∠DPC=90°时，
∠APD+∠BPC=90°，
∵∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△PAD∽△PBC，
∴$\frac{PA}{BC}$=$\frac{AD}{PB}$，
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴PA=1或PA=6；

（2）存在；
当D发出的光线在P点反射后经过C点时，
即：入射角=反射角，
∴∠APD=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AP}{BP}$=$\frac{AD}{BC}$，
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴PA=$\frac{14}{5}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定和性质；判定为：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似；性质为相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．