Question

10．将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B坐标是（8，6），点P是边AB上的一个动点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在点Q处．
（1）如图1，当点Q恰好落在OB上时，求点P的坐标；
（2）如图2，当点P是AB中点时，直线OQ交BC于点M点．
①求证：MB=MQ；②求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点B坐标和矩形性质得AO=BC=6，OC=AB=8，再利用勾股定理计算出OB=10，接着根据折叠得性质可得OQ=OA=6，PQ=AP，则BQ=OB-OQ=4，设AP=x，得到PQ=x，BP=8-x，然后在Rt△PQB中利用勾股定理得到，x²+4²=（8-x）²，再解方程求出x即可得到点P的坐标；
（2）①连结PM，如图，由折叠性质得PQ=PA，∠PQM=OAP=90°，然后根据“HL”证明Rt△PQM≌Rt△PBM即可得到BM=MQ；
②过Q作QN⊥OC，垂足为N，如图，设BM=MQ=m，则OM=OQ+QM=6+m，CM=BC-BM=6-m，在Rt△OMC中利用勾股定理得到8²+（6-m）²=（6+m）²，解得m=$\frac{8}{3}$，则MC=$\frac{10}{3}$，OM=$\frac{26}{3}$，再证明Rt△OQN∽Rt△OMC，利用相似比可计算出QN=$\frac{30}{13}$，ON=$\frac{72}{13}$，于是可得点Q的坐标是（$\frac{72}{13}$，$\frac{30}{13}$）．

解答 （1）解：∵四边形ABCD为矩形，点B坐标是（8，6），
∴AO=BC=6，OC=AB=8，
在Rt△OCB中，OB=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵△OAP沿OP折叠，使点A落在点Q处，
∴OQ=OA=6，PQ=AP，
∴BQ=OB-OQ=4，
设AP=x，则PQ=x，BP=8-x，
在Rt△PQB中，∵PQ²+QB²=PB²，
∴x²+4²=（8-x）²，解得x=3，
∴点P的坐标为（3，6）；
（2）①证明：连结PM，如图，
∵△OAP沿OP折叠，使点A落在点Q处，
∴PQ=PA，∠PQM=OAP=90°，
∵点P是AB中点，
∴PA=PB，
∴PB=PQ，
在Rt△PQM和Rt△PBM中
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PQ}\\{PM=PM}\end{array}\right.$，
∴Rt△PQM≌Rt△PBM，
∴BM=MQ；
②解：过Q作QN⊥OC，垂足为N，如图，
设BM=MQ=m，则OM=OQ+QM=6+m，CM=BC-BM=6-m，
在Rt△OMC中，∵OC²+CM²=OM²，
∴8²+（6-m）²=（6+m）²，解得m=$\frac{8}{3}$，
∴MC=6-$\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$，OM=6+$\frac{8}{3}$=$\frac{26}{3}$，
∵∠QON=∠MOC，
∴Rt△OQN∽Rt△OMC，
∴$\frac{QN}{MC}=\frac{ON}{OC}=\frac{OQ}{OM}$，即$\frac{QN}{\frac{10}{3}}$=$\frac{ON}{8}$=$\frac{6}{\frac{26}{3}}$，
∴QN=$\frac{30}{13}$，ON=$\frac{72}{13}$，
∴点Q的坐标是（$\frac{72}{13}$，$\frac{30}{13}$）．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握矩形的性质和折叠的性质；会运用三角形全等的知识证明线段相等的问题；会运用勾股定理和相似比计算有关线段的长．