Question

如图，Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，OB=2

3

，∠OAB=30°，将Rt△AOB折叠，使OB边落在AB边上，点O与点D重合，折痕为BE．
（1）求点E和点D的坐标；
（2）求经过O、D、A三点的二次函数图象的解析式．

Answer 1

分析：（1）过点D作DF⊥OA，垂足为F，由图形折叠的性质可知△BOE≌△BDE，在直角三角形OAB中，OB=2

3

，∠OAB=30°，根据锐角三角函数的定义可计算出A，B两点的坐标，根据三角形全等及三角形内角与外角的关系可知∠BEO=60°，BD=

1

2

AB，再根据锐角三角函数的定义及三角形中位线定理即可求出D、E两点的坐标．
（2）由（1）可知A、D两点的坐标，O为原点，根据此特点设出二次函数的解析式，把A、D两点分别代入即可求出未知数的值，进而求出其解析式．

解答：解：（1）过点D作DF⊥OA，垂足为F，因为Rt△AOB沿BE折叠时，OB边落在AB边上，点O与点D重合，
所以，∠OBE=∠DBE，OB=DB（1分）．
由Rt△AOB中，∠OAB=30°，
得∠ABO=60°，
且OA=OBcot30°=6，
得点A（6，0）（1分）．
在Rt△AOB中，由∠OBE=30°，得OE=2，得点E（2，0）（1分）；
Rt△AOB中，由∠OAB=30°得AB=2OB=2DB，
所以D是AB的中点，
得DF=

1

2

OB=

3

，OF=

1

2

OA=3，
得点D（3，

3

）（2分）．

（2）设经过O、D、A三点的二次函数图象的解析式为y=ax²+bx．
把A（6，0），D（3，

3

））入y=ax²+bx，
得

36a+6b=0 9a+3b= 3

．（2分）
解得

a=- 3 9 b= 2 3 3

．（2分）
所以，经过O、D、A三点的二次函数图象的解析式为y=

- 3

9

x²+

2 3

3

x（1分）．

点评：本题综合考查了图形折叠及直角三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特点，难度不大，但有一定的综合性，是一道好题．