Question

如图，PD切⊙O于D，PC=PD，B为⊙O上一点，PB交⊙O于A，连结AC、BC．求证：AC•PB=PC•BC．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：由切割线定理可得PD²=PA•PB，即有PC²=PA•PB，可证明△PAC∽△PCB，利用相似三角形的对应边成比例可证得结论．

解答：证明：
∵PD切⊙O于D，PB交⊙O于A，
∴PD²=PA•PB，
∵PC=PD，
∴PC²=PA•PB，即

PC

PB

=

PA

PC

，
又∠APC=∠CPB，
∴△PAC∽△PCB，
∴

AC

BC

=

PC

PB

，
即AC•PB=PC•BC．

点评：本题主要考查切线的性质和相似三角形的判定，利用切割线定理得到三角形相似的条件是解题的关键，注意相似三角形对应边成比例的应用．