Question

18．如图所示，圆的半径为2，圆的两条弦AB，CD互相垂直，垂足为E．若圆心O到弦AB的距离OF=1，EF=1．则图中阴影部分的面积等于7.23（π取3.14）

Answer 1

分析 如图，连接OB，OC，BC，OA，OD，作OG⊥CE于G，得到四边形EFOG是矩形，根据矩形的性质得到OG=EF=1，求得∠OBF=30°，求得AB=2$\sqrt{3}$，得到BE=CE=$\sqrt{3}+$1，解直角三角形得到HF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AF=BF=$\sqrt{3}$，求得AH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∠BOC=120°根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：如图，连接OB，OC，BC，OA，OD，作OG⊥CE于G，
∴四边形EFOG是矩形，
∴OG=EF=1，
∴∠OBF=30°，
∵OB=2，OF=1，OF⊥AB，
∴BF=$\sqrt{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∵OG=OF=1，
∴CD=AB，
∴BE=CE=$\sqrt{3}+$1，
∵OA=OB，OC=OD，
∴∠OAB=∠ODC=∠AOD=30°，
∵HF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AF=BF=$\sqrt{3}$，
∴AH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∠BOC=120°，
∴S₁=S_扇形AOD-2S_△AOE=$\frac{30•π×{2}^{2}}{360}$-2×$\frac{1}{2}$•DE•OG=$\frac{π}{3}$-（$\sqrt{3}$-1），
S₂=S_扇形BOC+2S_△BOE=$\frac{120•π×{2}^{2}}{360}$$+\frac{1}{2}$•BE•OF=$\frac{4}{3}$π+$\sqrt{3}$+1，
∴图中阴影部分的面积=S₁₊S₂=$\frac{5}{3}$π+2≈7.23．
故答案为：7.23．

点评 本题考查了扇形面积的计算，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．