Question

11．对某条路线的长度进行n次测量，得到n个结果x₁，x₂，x₃，…，x_n．如果用x作为这条路线长度的近似值，当x取什么值时，（x-x₁）²+（x-x₂）²+（x-x₃）²+…+（x-x_n）²最小？x所取的这个值与哪个常用的统计量有关系？

Answer 1

分析 先设出y=（x-x₁）²+（x-x₂）²+（x-x₃）²+…+（x-x_n）²，然后进行整理得出y=nx²-2（x₁+x₂+x₃+…+x_n）x+（x₁²+x₂²+x₃²+…+x_n²），再求出二次函数的最小值，再根据x的取值即可得出答案．

解答 解：设y=（x-x₁）²+（x-x₂）²+（x-x₃）²+…+（x-x_n）²=x²-2xx₁+x₁²+x²-2xx₂+x₂²+x²-2xx₃+x₃²+…+x²-2xx_n+x_n²=nx²-2（x₁+x₂+x₃+…+x_n）x+（x₁²+x₂²+x₃²+…+x_n²），
则当x=-$\frac{-2（{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+…{x}_{n}）}{2n}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+…+{x}_{n}}{n}$，
二次函数y=nx²-2（x₁+x₂+x₃+…+x_n）x+（x₁²+x₂²+x₃²+…+x_n²）最小，
x所取的这个值与平均数有关系．

点评 此题考查了方差和二次函数，关键是设y=（x-x₁）²+（x-x₂）²+（x-x₃）²+…+（x-x_n）²，得到一个二次函数，用到的知识点是求二次函数的最小值．