Question

如图①，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠CAB＝30°．它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为，AB＝10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

(1)求∠BAO的度数．

(2)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图②)，求点P的运动速度．

(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．

(4)如果点P，Q保持(2)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ＝90°的点P有几个？请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)．　　　　2分 　　(2)点的运动速度为2个单位/秒．　　　　4分 　　(3)() 　　　　　　6分 　　． 　　当时，有最大值为， 　　此时．　　　　9分 　　(4)当点沿这两边运动时，的点有2个．　　　　11分 　　①当点与点重合时，， 　　当点运动到与点重合时，的长是12单位长度， 　　作交轴于点，作轴于点， 　　由得：， 　　所以，从而． 　　所以当点在边上运动时，的点有1个．　　　　13分 　　②同理当点在边上运动时，可算得． 　　而构成直角时交轴于，， 　　所以，从而的点也有1个． 　　所以当点沿这两边运动时，的点有2个．　　　　14分