Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-3与坐标轴分别相交于点B、C，抛物线l₁：y=x²沿O→B→C方向进行平移，分别得到抛物线l₂（顶点为B）、抛物线l₃（顶点为D）．

（1）求直线BC与抛物线l₂的另一交点M的坐标；
（2）如图1，当抛物线l₃与AB的另一交点为N，恰好为线段BD的中点时，求抛物线l₃的解析式；
（3）将抛物线l₃平移后恰好经过点B、C，得到抛物线l₄（如图2），设P是y轴左侧抛物线l₄上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q．在点P的运动过程中，△BPQ能否为等腰三角形？若能，求出Q点坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：计算题,压轴题,动点型,数形结合,分类讨论

分析：（1）抛物线l₂是抛物线l₁平移所得，那么它们的二次项系数是相同的，而点B、C的坐标可由直线y=x-3求得，可据此直接写出抛物线l₂的顶点式解析式，联立直线BC的解析式即可求出交点M的坐标．
（2）首先由直线BC的解析式设出点D的坐标，而点N是线段BD的中点，由点B、N的坐标可直接写出点N的坐标，先由点D的坐标写出抛物线l₃的解析式，再将点N的坐标代入该解析式中，据此思路来解即可．
（3）此题需要分三种情况讨论：
①BP=BQ．此时点P、Q关于x轴对称，即它们的纵坐标的和正好是0，根据这个等量关系列式求解即可；
②BP=PQ．由点B、C的坐标易知∠OCB=∠OBC=45°，而PQ∥y轴，那么∠PQB=45°，若BP=PQ，那么∠PBQ=∠PQB=45°，即∠QP⊥BP，此时点P正好在x轴上（点P、A重合）；
③PQ=BQ．设直线PQ与x轴的交点为E，先设出点E的坐标，在等腰Rt△BQE中，由点E的横坐标表示出线段BE、BQ的长，而P、Q与点E的横坐标相同，由抛物线l₄、直线BC的解析式可得到点P、Q的纵坐标表达式，进而能求出PQ的长，由BQ=PQ列式求解，即可确定点Q的坐标．

解答：解：（1）由直线y=x-3知，点B（3，0）、C（0，-3）；
则抛物线l₂：y=（x-3）²，联立直线BC的解析式，有：

y=(x-3)2 y=x-3

，解得

x1=3 y1=0

，

x2=4 y2=1

∴点M（4，1）．

（2）设点D（m，m-3），则点N（

m+3

2

，

m-3

2

）；
∴抛物线l₃：y=（x-m）²+m-3，代入点N的坐标，得：
（

m+3

2

-m）²+m-3=

m-3

2

解得：m₁=3（舍）、m₂=1；
∴抛物线l₃：y=（x-1）²-2=x²-2x-1．

（3）设抛物线l₄：y=（x-a）²+b，代入（3，0）、（0，-3），得：

(3-a)2+b=0 (0-a)2+b=-3

，解得

a=1 b=-4

∴抛物线l₄：y=（x-1）²-4=x²-2x-3．
设PQ与x轴的交点为点E（x，0），则 P（x，x²-2x-3）、Q（x，x-3），PQ=（x²-2x-3）-（x-3）=x²-3x；
由OB=OC=3，知∠OBC=∠OCB=45°，在Rt△BEQ中，BE=3-x，BQ=

2

（3-x）．
若△BPQ为等腰三角形，分三种情况讨论：
①BP=BQ；此时P、Q关于x轴对称，则有：
x²-2x-3+x-3=0，解得 x₁=-2、x₂=3（舍）
∴Q₁（-2，-5）；
②BP=PQ；此时∠PBQ=∠PQB；
∵PQ∥y轴，∴∠PQB=∠OCB=45°；
∴∠PBQ=∠PQB=45°，∠QPB=90°，即点P在x轴上，此时点P、A重合；
∴P（-1，0）、Q₂（-1，-4）；
③BQ=PQ；此时有：

2

（3-x）=x²-3x，解得：x₁=3（舍）、x₂=-

2

∴Q₃（-

2

，-

2

-3）；
综上，存在符合条件的点Q，坐标为（-2，-5）、（-1，-4）或（-

2

，-

2

-3）．

点评：此题主要考查的是函数解析式的确定、抛物线图象的平移以及等腰三角形的判定和性质等重点知识；此题中，无论抛物线怎么平移，只要抓住两点即可：①二次项系数（图象上的反应是抛物线的开口方向和开口大小），②顶点坐标；（3）题中，在等腰三角形的腰和底不确定的情况下，一定要分类进行讨论，以免出现漏解的情况．