Question

17．已知，在直角坐标系中，二次函数y=x²-2x-3与x轴交与A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）；
（2）点P为y轴左侧抛物线上的一动点，PE⊥x轴，交BC的延长线于点E，当△BEP为直角三角时，求点P的坐标；
（3）若P为线段OC上一动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转45°得BQ，连接OQ，在运动过程中，求OQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用坐标轴上点的特点，令y=0，求出点A，B的坐标，令x=0求出点C的坐标，
（2）根据题意，分∠BPE=90°，即点P在x轴上和x轴上的点A重合，以及∠PBE=90°，根据等腰直角三角形的性质求出直线PE与y轴的交点坐标，再求直线和抛物线的交点两种情况计算即可；
（3）点Q的轨迹是过O'与BO'垂直的直线，再确定出点OQ最小时点Q的位置，最后用勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）∵二次函数y=x²-2x-3与x轴交与A、B两点，
∴令y=0，即0=x²-2x-3，
∴x=-1或x=3，
∴A（-1，0）．B（3，0），
令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3），
故答案为：-1，0；4，0；0，-3；
（2）由（1）知，B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC解析式为y=x-3，∠CBO=45°，
∵PE⊥x轴，直线BC和x相交，
∴在y轴左侧，∠PEB＜90°，
∵当△BEP为直角三角时，
①当∠BPE=90°时，
∵PE⊥OB，
∴点P只能在x轴上，即点P与点A重合，
∴P（-1，0），
②当∠PBE=90°时，
∵∠CBO=45°，
∴∠PBO=45°，
设直线PB与y轴的交点为G，
∴OG=OB=3，
∴G（0，3），
∴直线PE解析式为y=-x+3，①
∵点P在二次函数y=x²-2x-3②的图象上，
联立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍），$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴P（-2，5），
即：满足条件的点P（-1，0），（-2，5）；
（3）如图，

OB绕点B顺时针旋转45°，
∴△QO'B≌△POB，
∴∠QO'B=∠POB=90°，O'B=OB=3，
∴点Q运动轨迹是直线O'M，
在Rt△ABO'中，O'B=3，∠ABO'=45°，
∴∠BMO'=45°，AB=3$\sqrt{2}$，
∴OM=3$\sqrt{2}$-3
作OH⊥O'M，
当点Q运动到H时，OQ的最小值
在Rt△AOH中，OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OM=3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是求出点P的坐标，难点是确定出OQ的最小值时点Q的位置．