Question

求满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）抛物线与x轴交点的横坐标为-5和1，与y轴交于点（0，5）；
（2）抛物线与x轴只有一个公共点（2，0），并与x轴交于（0，2）点；
（3）当x=2时，y取得最小值-4．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+5）（x-1），
把（0，5）代入得-5a=5，解得a=-1，
所以抛物线的解析式为y=-（x+5）（x-1）=-x²-4x+5；

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）²，
把（0，2）代入得4a=2，解得a=，
所以抛物线的解析式为y=（x-2）²；

（3）设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-4，
因为而次函数有最小值，
所以a可以取1，
则此时抛物线的解析式为y=（x-2）²-4．
分析：（1）由于已知抛物线与x的两交点坐标，则可交点式y=a（x+5）（x-1），然后把（0，5）代入求出a即可；
（2）由于抛物线与x轴只有一个公共点（2，0），即顶点坐标为（2，0），于是可设顶点式y=a（x-2）²，然后把（0，2）代入求出a即可；
（3）由于x=2时，y取得最小值-4，则a＞0，顶点坐标为（2，0），于是可设顶点式y=a（x-2）²，然后令a=1即可得到满足条件的一个抛物线．
点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．