Question

在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1＝∠2＝45°．

(1)如图1，若AO＝OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；

(2)将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO＝OB．求证：AC＝BD，AC⊥BD；

(3)将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求的值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)AO＝BD，AO⊥BD；

　　(2)证明：如图，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO＝∠BEO．

　　又∵AO＝OB，∠AOC＝∠BOE，

　　∴△AOC≌△BOE．∴AC＝BE．

　　又∵∠1＝45°，∴∠ACO＝∠BEO＝135°．

　　∴∠DEB＝45°．

　　∵∠2＝45°，∴BE＝BD，∠EBD＝90°．∴AC＝BD．延长AC交DB的延长线于F，如上图．∵BE∥AC，∴∠AFD＝90°．∴AC⊥BD．

　　(3)如下图，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO＝∠ACO．

　　又∵∠BOE＝∠AOC，

　　∴△BOE∽△AOC．

　　∴．

　　又∵OB＝kAO，

　　由(2)的方法易得BE＝BD．∴．