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    观察下列等式：a1=
    1
    1×2×3
    +
    1
    2
    =
    2
    1×3
    ；a2=
    1
    2×3×4
    +
    1
    3
    =
    3
    2×4
    ；a3=
    1
    3×4×5
    +
    1
    4
    =
    4
    3×5
    …
    （1）猜想并写出第n个等式；
    （2）证明你猜想的正确性．
    分析：（1）通过观察得出规律后即可写出第n个等式；
    （2）先对分式的左边通分，再相加后即可证出猜想的正确性．
    解答：解：（1）an=
    1
    n(n+1)(n+2)
    +
    1
    n+1
    =
    n+1
    n(n+2)

     
    （2）证明：左边=
    1
    n(n+1)(n+2)
    +
    n(n+2)
    n(n+1)(n+2)

    =
    1+n(n+2)
    n(n+1)(n+2)
     
    =
    n2+2n+1
    n(n+1)(n+2)
    =
    (n+1)2
    n(n+1)(n+2)
    =
    n+1
    n(n+2)
    =右边
    ∴
    1
    n(n+1)(n+2)
    +
    1
    n+1
    =
    n+1
    n(n+2)
    ．
    点评：此题考查了分式的加减，关键是能通过观察找出规律，并用式子表示出来．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•东莞）观察下列等式：
    第1个等式：a1=
    1
    1×3
    =
    1
    2
    ×（1-
    1
    3
    ）；
    第2个等式：a2=
    1
    3×5
    =
    1
    2
    ×（
    1
    3
    -
    1
    5
    ）；
    第3个等式：a3=
    1
    5×7
    =
    1
    2
    ×（
    1
    5
    -
    1
    7
    ）；
    第4个等式：a4=
    1
    7×9
    =
    1
    2
    ×（
    1
    7
    -
    1
    9
    ）；
    …
    请解答下列问题：
    （1）按以上规律列出第5个等式：a5=
    1
    9×11
    =
    1
    2
    ×(
    1
    9
    -
    1
    11
    )
    1
    9×11
    =
    1
    2
    ×(
    1
    9
    -
    1
    11
    )
    ；
    （2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=
    1
    (2n-1)(2n+1)
    1
    (2n-1)(2n+1)
    =
    1
    2
    ×(
    1
    2n-1
    -
    1
    2n+1
    )
    1
    2
    ×(
    1
    2n-1
    -
    1
    2n+1
    )
    （n为正整数）；
    （3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•密云县一模）观察下列等式：
    第1个等式：a1=
    1
    1×3
    =
    1
    2
    ×（1-
    1
    3
    ）；
    第2个等式：a2=
    1
    3×5
    =
    1
    2
    ×（
    1
    3
    -
    1
    5
    ）；
    第3个等式：a3=
    1
    5×7
    =
    1
    2
    ×（
    1
    5
    -
    1
    7
    ）；
    第4个等式：a4=
    1
    7×9
    =
    1
    2
    ×（
    1
    7
    -
    1
    9
    ）；
    …
    请解答下列问题：
    （1）按以上规律列出第5个等式：a5=
    1
    9×11
    1
    9×11
    =
    1
    2
    ×（
    1
    9
    -
    1
    11
    ）
    1
    2
    ×（
    1
    9
    -
    1
    11
    ）
    ；
    （2）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值为
    100
    201
    100
    201
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    观察下列等式：
    第1个等式：a1=数学公式=数学公式×（1-数学公式）；
    第2个等式：a2=数学公式=数学公式×（数学公式-数学公式）；
    第3个等式：a3=数学公式=数学公式×（数学公式-数学公式）；
    第4个等式：a4=数学公式=数学公式×（数学公式-数学公式）；
    …
    请解答下列问题：
    （1）按以上规律列出第5个等式：a5=______=______；
    （2）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值为______．

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    科目：初中数学 来源：2012年广东省汕头市中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    观察下列等式：
    第1个等式：a1==×（1-）；
    第2个等式：a2==×（-）；
    第3个等式：a3==×（-）；
    第4个等式：a4==×（-）；
    …
    请解答下列问题：
    （1）按以上规律列出第5个等式：a5=______；
    （2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=______=______（n为正整数）；
    （3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．

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