Question

如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，AB=20，DP与⊙O相切于点D，DP⊥PB，垂足为P，PB与⊙O交于点C，PD=8．
①求BC的长；
②连接DC，求tan∠PCD的值；
③以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求直线BD的解析式．

Answer 1

解：①连接AC，OD，相交于点F，
∵AB是⊙O的直径，DP与⊙O相切于点D，
∴∠ACB=90°，OD⊥PD，
∵DP⊥PB，
∴∠P=∠ODF=∠BCF=90°，
∴四边形PDFC是矩形，
∴CF=PD=8，
∴AF=CF=8，
即AC=16，
在Rt△ABC中，AB=20，
∴BC==12；

②∵OA=OD=AB=10，AF=8，
∴在Rt△AOF中，OF==6，
∴DF=OD-OF=10-6=4，
∵四边形PDFC是矩形，
∴PC=DF=4，
∴tan∠PCD===2；

③过点D作DE⊥AB于点E，
∵OD∥PB，
∴∠DOE=∠ABC，
在Rt△ABC中，sin∠ABC==，cos∠ABC==，
∴sin∠DOE=，cos∠DOE=，
∴DE=OD•sin∠DOE=10×=8，OE=OD•cos∠DOE=10×=6，
∴AE=OA-OE=10-6=4，
∴点D的坐标为：（4，8），点B的坐标为：（20，0），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线BD的解析式为：y=-x+10．
分析：①首先连接AC，OD，相交于点F，易证得四边形PDFD是矩形，即可求得CF=PD=8，然后由垂径定理，求得AC的长，然后由勾股定理求得BC的长；
②由勾股定理可求得OF的长，继而求得DF，即PC的长，则可求得tan∠PCD的值；
③首先过点D作DE⊥AB于点E，利用三角函数的知识即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线BD的解析式．
点评：此题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的性质以及待定系数法求一次函数的解析式的知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．