Question

8．如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，动点P从点C开始，以1cm/s的速度在BC的延长线上向右匀速运动，连接AP交CD边于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交CD的延长线于点Q，设点P的运动时间为t．
（1）若DQ=3cm，求t的值；
（2）设DQ=y，求出y与t的函数关系式；
（3）当t为何值时，△CPE与△AEQ的面积相等？
（4）在动点P运动过程中，△APQ的面积是否会发生变化？若变化，求出△APQ的面积S关于t的函数关系式；若不变，说明理由，并求出S的定值．

Answer 1

分析 （1）由折叠可知QD=DE，可求得CE，再利用平行可得△PCE∽△PBA，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；
（2）同（1）可用y表示出CE，同理可利用相似三角形的性质可得到关于y与t的函数关系式；
（3）利用（2）中的关系式可用t表示出QE、CE，则可用t分别表示出△CPE与△AEQ的面积，由面积相等可得到关于t的方程，可求得t；
（4）由（3）可用t分别表示出QE、CE，可表示出△APQ的面积为定值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=4cm，
∵AP沿直线AD翻折得到AQ，
∴QD=DE=3cm，
∴CE=CD-DE=4-3=1（cm），
当运动t秒时，则PC=tcm，
∴BP=（t+6）cm，
∵CD∥AB，
∴△PCE∽△PBA，
∴$\frac{CE}{AB}$=$\frac{PC}{PB}$，即$\frac{1}{4}$=$\frac{t}{6+t}$，
解得t=2；
（2）同（1）可知DE=DQ=y，则CE=4-y，
同理可得$\frac{CE}{AB}$=$\frac{PC}{PB}$，即$\frac{4-y}{4}$=$\frac{t}{t+6}$，
整理可得y=$\frac{24}{t+6}$；
（3）不变，理由如下：
由（2）可知当CP=t时，QD=$\frac{24}{t+6}$，
则QE=2QD=$\frac{48}{t+6}$，CE=4-QD=4-$\frac{24}{t+6}$=$\frac{4t}{t+6}$，
∴S_△AEQ=$\frac{1}{2}$QE•AD=$\frac{1}{2}$×$\frac{48}{t+6}$×6=$\frac{144}{t+6}$，
S_△CPE=$\frac{1}{2}$CP•CE=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{4t}{t+6}$=$\frac{2{t}^{2}}{t+6}$，
当S_△CPE=S_△AEQ时，则有$\frac{2{t}^{2}}{t+6}$=$\frac{144}{t+6}$，
解得t=6$\sqrt{2}$或t=-6$\sqrt{2}$（舍去），
∴当t的值为6$\sqrt{2}$秒时，△CPE与△AEQ的面积相等；
（4）由（3）可知QE=$\frac{48}{t+6}$，
∴S_△APQ=S_△AQE+S_△PQE=$\frac{1}{2}$QE•AD+$\frac{1}{2}$QE•CP=$\frac{1}{2}$QE•（AD+CP）=$\frac{1}{2}$×$\frac{48}{t+6}$×（t+6）=24，
∴△APQ的面积为24，不变．

点评 本题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积以及几何变换等．在（2）、（3）、（4）问中，用t表示出相应线段的长度是解题的关键，即化“动”为“静”是解决运动型问题的常用方法．本题考查内容均为基础知识，难度不大，但要注意计算的正确性．