Question

如图在8×8的正方形网格中建立直角坐标系，已知A（2，4），B（4，2）．C是第一象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
（1）填空：C点的坐标是

（1，1）

，△ABC的面积是

4

；
（2）将△ABC绕点C旋转360°，求出在旋转过程中线段AB所扫过的面积．

Answer 1

分析：（1）作线段AB的垂直平分线，第一象限内有3个格点，符合条件的只有一个（1，1），再利用面积公式求解即可；
（2）线段AB所扫过的面积是一个圆环的面积，计算出以点C为圆心以BC为半径的圆的面积，以点C为圆心，以CD为半径的圆的面积，相减即可得出答案．

解答：解：（1）

由图形可得符合题意的点C的坐标为（1，1），
S_△ABC=

1

2

AB×CD=

1

2

×2

2

×2

2

=4．
（2）由（1）得，CA=

10

，CD=2

2

，
线段AB所扫过的面积为：以C为圆心以BC为半径的圆的面积-以C为圆心以CD为半径的圆的面积，

S=10π-8π=2π．

点评：此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质及旋转的性质，难点在第二问，关键是分析出线段AB扫过的面积的形状，难度一般．