Question

如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂两个三角形（如图2所示）.将纸片△AC₁D₁沿直线D₂B（AB）方向平移（点A、D₁ 、D₂、B 始终在同一直线上），当点D₁于点B重合时，停止平移.在平移过程中，C₁D₁与BC₂交于点E,AC₁与C₂D₂、BC₂分别交于点F、P.

(1)当△AC₁D₁平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D₁E与D₂F的数量关系，并证明你的猜想；

(2)设平移距离D₂D₁为x，△AC₁D₁与△BC₂D₂重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；

(3) 对于（2）中的结论是否存在这样的x的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解（1）.因为C₁D₁// C₂D₂，所以∠C₁=∠AFD₂.

又因为∠ACB=90⁰，CD是斜边上的中线，

所以，DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁

所以，∠C₁=∠A，所以∠AFD₂=∠A

所以，AD₂=D₂F.同理：BD₁=D₁E.

又因为AD₁=BD₂，所以AD₂=BD₁.所以D₁E = D₂E

（2）因为在RtABC中，AC=8,BC=6，所以由勾股定理，得AB=10

即AD₁=BD₂= C₁D₁=C₂D₂=5

又因为C₂D₁=x，所以D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x

所以

在△BC₂D₂中，C₂到BD₂的距离就是△ABC的AB边上的高，为.

设△BED₁的BD₁边上的高为h，由探究，得BC₂D₂∽△BED₁，所以

所以.

又因为，所以.

又因为，.

所以，

而

所以

（3）  存在.当时，即

整理，得解得，.

即当时，重叠部分的面积等于原△ABC面积的.