Question

已知长方形ABCD中，点E在AB边上且AE=BC，F为EB的中点，M为AD边的一个三等分点．
（1）画出相应图形，并求出图中线段的条数；
（2）若图中所有线段的长均为整数，且这些长度之和为39，求长方形ABCD的面积；
（3）若点G、H在边DC上，N在BC上，且BN=AM，DG=AE，CH=BF，分别连接MN、EG、FH．求所得图形中所有长方形的面积的和．

Answer 1

分析：（1）任意两点都可以组成一条线段，所以n条线段可以组成

n(n-1)

2

条线段．
（2）根据题意列出二元一次方程组，再根据求二元一次方程的正整数解解答．
（3）根据图形，把长方形的长和宽分别计算出来，然后计算出所求长方形的面积．

解答：解：（1）∵AB边上共有4个点，
∴

n(n-1)

2

=

4(4-1)

2

=6，
∴AB边上共有6条线段；
∵AD边上共有3个点，
∴

n(n-1)

2

=

3(3-1)

2

=3，
∴AB边上共有3条线段，
DC边上共有1条线段，BC边上共有1条线段，
6+3+1+1=11（条），
故共11条线段．

（2）根据题意设AE=BC=x，EF=FB=y，
AB边上共有6条线段，长度和AE+AF+AB+EF+EB+FB=3x+7y，
AD边上共有3条线段，长度和为AM+AD+MD=2x，
BC=x，DC=x+2y，
以上11条线段的长度和为7x+9y，得，
7x+9y=39，
因为所有线段的长均为整数，
解得：x=3，y=2，
ABCD的面积为7×3=21．

（3）所有长的和为3+5+7+2+4+2=23，
所有宽的和1+2+3=6，
所有长方形的面积和为6×23=138．

点评：本题主要考查二元一次方程整数解的求法，数形结合的方法经常是解决一些几何问题的常用方法．